Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
отношение Т/Тт&х зависит не от трех отдельных переменных р, и "5, а от
двух их комбинаций (q и d). В этом заключается одна из причин того,
почему так существенен логарифмический декремент.
Возьмем, например, d/~= 0,01, </ = 0,8. Тогда
Т 1
Т 1 ч- 2 • 10а *
шах
Из этого примера ясно, почему резонанс имеет такое огромное значение.
Здесь достаточно расстройки на 20э/о, чтобы энергия упала в 2000 раз.
Энергия при резонансе может быть и в миллионы раз больше, чем вдали от
резонанса. Этого удалось достигнуть сравнительно недавно с помощью
пьезокварца. Ам плитуды колебаний кварцевой пластинки в "нормальных"
условиях порядка всего лишь 10-15 мм, но при резонансе кварцевые
пластинки иной раз разлетаются.
Резонансная кривая, изображающая формулу (18), дает возможность
экспериментально определить логарифмический декремент.
Вернемся к формуле (16). При малых расстройках, т. е. когда <*)0 мало
отличается от р, приближенно
("о Р) ("о - Р) = 2р ("о - Р), и формула (16) дает:
/ ы() - р '
Т (<00 - р)- _ \ (¦>"
f - р
/Ы()-\ (¦>!
ЙГ
11 J1. И, Мандельштам, том IV
162
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Энергия падает вдвое по сравнению с резонансом при
м0 - р .
Ь>0
d_
2л
(19)
Определив расстройку, при которой ордината резонансной кривой
равна половине ординаты в максимуме, можно вычислить по формуле (19)
логарифмический декремент.
Остротой настройки называется обратная величина относительной расстройки
| tu0/Aw | , которая нужна для того, чтобы ордината резонансной кривой
уменьшиласьвдвое. Из формулы ДЛЯ (Гшах-Т)/Т следует, что
Рис. 57.
! <о,
До)
2л
~d
т. е. острота настройки обратно пропорциональна логарифмическому
декременту контура.
При резонансе на основании (12) и (16) амплитуда тока
Е Е'
1=Х=
28
R
Индуктивность и емкость друг друга компенсируют, и получается такое же
соотношение между током и электродвижущей силой, как в случае постоянного
тока. Фаза тока совпадает при этом с фазой электродвижущей силы так же,
как если бы мы имели чисто омическое сопротивление.
Приведем несколько резонансных кривых для амплитуды смещения (ш^Х/Е) в
зависимости от q, соответствующих различным значениям декремента (рис.
57). Из них видно, как максимум смещается в зависимости от декремента.
Как изменяется сдвиг фаз между внешней силой, с одной стороны, и током
или зарядом в контуре-с другой, в зависимости от расстройки?
ПЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
163
Формулу (8) также не трудно записать через параметры </ = 27г<5/ш0. и q -
р/ы0:
, д<1
tg ? - -rt (1 д'2) '
Если частота внешней силы очень мала, то практически tg<p = 0, т. е.
смещение изменяется в фазе с внешней силой. Если р-> оо, то tg<p тоже
стремится к нулю, но будучи отрицательным. Следовательно, сдвиг фаз
стремится к г: в тот момент, 1
когда внешняя сила дейст- к вует вправо, смещение направлено влево. При
резонансе (ф=1) сдвиг фаз равен тс/2. Чем меньше d, тем меньше нужно
удалиться от л/2 резонанса, чтобы сдвиг фаз стал практически равен 0 или
тс (рис. 58).
То обстоятельство, что между внешней силой и смещением должен
существовать сдвиг фаз, а также Рис. 58.
какой именно он должен
быть, можно вывести из простых энергетических соображений.
Рассмотрим установившийся режим. Умножим уравнение
L~-+-Ri-t-~r = E' cos pt на i и усредним за полный период. Это дает:
Ri2 = ?' cos pt • г. (20)
Справа стоит средняя мощность, отдаваемая внешним источником, слева -
средняя потребляемая мощность. Будем приближаться к резонансу (оставляя
Ь' постоянным); i растет по амплитуде, но г2 растет гораздо быстрее.
Отсюда ясно, что соотношение (20) не могло бы оставаться правильным, если
бы между внешней
э. д. с. и током (а следовательно, и зарядом) не было меняющейся с
настройкой разности фаз.
11*
164
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Можно простым образом вывести из энергетического соотношения (20)
зависимость амплитуды тока от <р. Подставим в (20)
i = x = - X sin (pt - 9).
Получаем:
RX2 sin2 (pt - 9) = - E'X cos pt • sin (pt - 9).
Ho
sin2 (pt - 9) - у , cos pt ¦ sin (pt - 9) = - .
Следовательно,
RX-^XE'sinf,
откуда мы снова приходим к формуле (14):
v Е' ¦
X - g sin 9.
Как мы теперь видим, это релеевское написание формулы для
амплитуды имеет довольно глубокий физический смысл. Связь
между амплитудой тока и фазой диктуется энергетическими требованиями.
Раздельное рассмотрение амплитуды и фазы не выявляет той связи между их
изменениями, которая обусловлена энергетическими соотношениями. Есть ряд
физических явлений, где эта связь существенна.
Рассмотрим электродинамометр. В нем действует между катушками, в которых
текут переменные токи и г2, пара сил с моментом
М~/р2- (21)
Пусть ток ix берется прямо от источника переменной э. д. с. (через
омическое сопротивление), а ток /2 течет в резонансном контуре (рис. 59).
В этом случае
it - olE sin pt, ii = Xsin (pt - 9) (22)
(ос - постоянная). На основании (14), (21) и (22)
Но
M= const • sin 9 • sin pt sin (pt - 9).
----------------.-J- r cos 9
