Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
тх -+- 1х л- кх = f(t). (14)
Укажем некоторые свойства этого неоднородного уравнения (уравнения с
правой частью).
В случае однородного уравнения (13), если х, и х2 являются решениями, то
х - Ахх *- Вх2
тоже есть решение. Для уравнения с правой частью это уже несправедливо.
Но пусть далее
f(t)~Л• • • ч_/и W (15)
и пусть х1У х2, ..., х"--решения уравнения (14), соответствующие каждому
из слагаемых в правой части (15). Тогда уравнение (14) имеет решение
X=Xj+X2+ ... -I- х".
Так как очень широкий класс функций можно представить в виде суммы
гармонических колебаний, мы приходим к выводу, что для многих задач
достаточно уметь решить уравнение (14) для случая, когда справа стоит
один синусоидальный член. Мы ограничимся этим случаем. Фазу правой части
возьмем равной нулю (так как начало отсчета времени можно выбрать
произвольно).
Пусть Хо-общее решение однородного уравнения (13). Если xt-какое-то
частное решение неоднородного уравнения (14), то
ПЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
155
есть общее решение неоднородного уравнения. Но х: -+- также является
частным решением (14), а значит, и
х"
х = х1 -I- ? -+- х0
также есть общее решение неоднородного уравнения. Из этого видно, что
разделение общего решения неоднородного уравнения на общее решение
однородного и частное решение неоднородного неоднозначно. Почему
приходится останавливаться на этом? Принято говорить: колебание,
определяемое уравнением (14), есть сумма вынужденного и собственного
колебаний. Это предполагает, что существует однозначное разбиение на
вынужденное и собственное колебание. Но, как было только что сказано,
разделение решения неоднозначно. Как вяжется одно с другим? Тут недостает
одного уточнения. Когда мы имеем вынужденное колебание, мы ищем
периодическое частное решение неоднородного уравнения. Такое решение -
единственное, и, следовательно, разбиение общего решения неоднородного
уравнения на периодическое решение и общее решение однородного уравнения
однозначно.
ПЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(181X11 1930 г.)
Действие внешней синусоидальной силы на линейную систему с одной степенью
свободы. Установившиеся колебания. Энергетические соотношения. Резонанс
для заряда (смещения) и для тока (скорости). Резонансные кривые.
Измерение декремента. Фазовые соотношения. Измерение декремента с помощью
электродинамометра.
Вынужденные колебания гармонического осциллатора описываются линейным
дифференциальным уравнением второго порядка с переменной правой частью.
Нас интересует случай, когда правая часть синусоидальна, т. е.
дифференциальное уравнение приводится к виду
х-+- 2Sx -I- <ЯцХ -Е cos pt, (1)
где в механическом случае х - смещение и
156
ЛЕКЦИИ 110 КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
(Е'- амплитуда внешней силы, т--масса), а в электрическом случае х -
заряд конденсатора и
Е_
L
(16)
(Е' - амплитуда внешней э. д. с., L - индуктивность). Внешняя э. д. с.
может быть непосредственно включена в контур, а может создаваться
посредством индукции (рис. 56, а и б).
Часто для решения уравнения (1) пользуются комплексными выражениями.
Правую часть заменяют выражением Ее,р\ и получается новое уравнение
f
О
о
о
о
о
о
¦Ее'1". (2)
Рис. 56.
Уравнение (2) решается подстановкой
Действительная часть решения уравнения (2) является решением уравнения
(1).
х-Се*р(. Подставляя (3) в (2), получаем:
(- р' -+- 2bip -+- Се'1'1 - Ее*1'1,
(3)
откуда
С-
o')q - р2 -+- 2oip
(4)
Нас интересует действительная часть (3). Пользуясь методом, изложенным в
начале курса*, мы находим, что эта действительная часть имеет вид
х = Xcos(pt - <р), (5)
причем
JT- = CC*, tg?=--RTt'- (6)
1 [См. З-ю лекцию.]
ПЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
157
Подставляя в (6) выражение (4), получаем:
Е_
2
(7)
(8)
Если wjj - р2^> 0, то наименьшее положительное значение <р, определяемое
уравнением (8), находится в первом квадранте. Если "¦>д - р2<С 0, оно
находится во втором квадранте.
Мы нашли одно из частных решений неоднородного уравнения. Общее решение
мы получим, прибавив к нему общее решение однородного уравнения:
Здесь А и ф- произвольные постоянные. Для того, чтобы удовлетворить любым
начальным условиям х = х0, х = х0, при t = О, нужны как раз две
произвольные постоянные.
Как уже было сказано в прошлой лекции, деление общего решения
неоднородного уравнения на две части - решение неоднородного уравнения и
общее решение однородного--неоднозначно. Но в данном случае можно
однозначно разделить общее решение неоднородного уравнения на такие две
части: периодическое решение неоднородного уравнения -+- общее решение
однородного.
Если ждать достаточно долгое время, то собственные колебания делаются как
угодно близки к нулю. Через достаточно долгое время, каковы бы ни были
начальные условия, остается чисто периодическое колебание. Поэтому оно
представляет самостоятельный физический интерес.
Все свойства, о которых мы будем говорить, относятся к этому
установившемуся процессу. Они полностью сказываются лишь через достаточно
