Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
равновесия может быть устойчиво "в большом" (рис. 52, а) или только "в
малом" (рис. Ъ2,б). Такие же случаи возможны и для периодических решений.
При сделанной идеализации лампового генератора получилась чрезвычайно
простая математическая теория. Те же, в сущности,.
10*
148
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
рассуждения можно провести на фазовой плоскости (/, I) и получить на ней
замкнутую кривую - предельный цикл, - изображающую периодическое решение.
На нее навиваются другие интегральные кривые. Это соответствует тому
подходу, о котором уже говорилось1. Такой подход здесь не сложнее и, быть
может, нагляднее. Если усложнить идеализацию, исследование на фазовой
плоскости становится, повидимому, необходимым.
Сравним рассмотренный идеальный случай с реальной схемой; сравним наши
выводы с результатами опытов.
Поставим несколько вопросов, относящихся к зависимости установившихся
колебаний от параметров. Вопросы эти сами напрашиваются.
Формулу (6) можно переписать в таком виде:
где d - логарифмический декремент контура:
rf = 8T=2X-2" VZC = tt/2|/-?. (8)
Будем уменьшать беспредельно сопротивление контура R. Тогда согласно (7)
и (8) нет предела увеличению амплитуды колебаний /0. Но в
действительности такой предел существует (это видно хотя бы из того, что
при беспредельном росте /0 беспредельно растет мощность Riy2, поглощаемая
в контуре).
Никакую идеализацию нельзя продолжать "до бесчувствия11. Нужно
идеализировать со смыслом, помнить об ограничениях.
1 [См. 9-ую лекцию.]
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
149
Очень распространена склонность верить в формулу "до конца", в то время
как всегда нужно уяснить себе, до каких пределов та или иная формула
справедлива.
Мы молчаливо предположили, что напряжение на аноде
: еа0 '
LI
все время положительно.
Здесь L1-напряжение на индуктивности. Если колебания почти синусообразны,
оно имеет амплитуду, равную <$LI0. Если й -" 0, эта амплитуда возрастает,
и напряжение на аноде перестает быть все время положительным. Оно
остается все время положительным в лучшем случае при
ен0 - coZJ0 = 0. (9)
Рассмотрим этот оптимальный случай. Из (7), (8) и (9) получаем:
Я=Ш;,- <10>
Отсюда видно, что R нельзя делать бесконечно малым. Если взять R меньше
значения (10), то в некоторые моменты анодного тока не будет, если даже
напряжение на сетке положительно, и тогда наша теория не годится.
Очень легко изменить схему так, чтобы при R, меньшем, чем (10), опять
войти в нужную область:
еа0 - ">!/" > 0.
Это можно сделать путем перераспределения индуктивности контура (рис. 53,
а) или добавления индуктивности в анодную цепь (рис. 53, б).
Поставим теперь вопрос: как "вытянуть" из схемы возможно больше энергии?
Сюда же относится такой вопрос. Представьте себе, что вы не меняете
схему, но включаете в нее две тождественные лампы параллельно (рис. 54).
Ясно, что при прочих равных условиях анодный ток ia удваивается. Тогда
колебательный ток тоже удваивается, а энергия увеличивается в 4 раза.
Возьмите три лампы, - энергия увеличится в 9 раз и т. д. Но ведь
мощность, отдаваемая батареей, растет пропорционально анодному току, т.
е. числу ламп. Получается парадокс.
Его разрешение состоит в следующем. Если вначале лампа использована
полностью, т. е. так что выполняется условие (9),
150
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
то для двух ламп теория уже не годится, так как еа0 - ыЬ • 2/0 будет
отрицательно. Для того, чтобы она оставалась справедливой, нужно
увеличить R вдвое. Но если при включении второй лампы вы увеличите R
вдвое, то энергия увеличится только вдвое. Итак, если лампа была
использована полностью, то при добавлении второй лампы нужно изменить
схему. Удвоением числа ламп действительно можно учетверить энергию, но
только в том случае, если до этого лампы не были полностью использованы.
Интересен коэффициент полезного действия лампового генератора. В среднем
за период батарея отдает мощность
а)
W=
6gQls : 2 '
а контур потребляет мощность
- №
(полезная мощность). Под коэффициентом полезного действия здесь надо
понимать
_
r>~~ W '
При наибольшем токе, совместимом с условием применимости нашей теории, т.
е. при выполнении условия (9), имеем:
"=-§"64%.
Это - совершенно недостаточный коэффициент полезного действия. Для того,
чтобы его увеличить, нужно изменить режим работы лампы. В этом
направлении нет предела, нет принципиальных трудностей. Можно достигнуть
без затруднений коэффициента полезного действия 97-98%.
Почему у нас амплитуда /0 не зависит от М? Из-за взятой нами
исключительной характеристики. Мы приняли, что значение
ЧЕТЫРНАДЦА ТАЯ ЛЕКЦИЯ
151
анодного тока определяется исключительно знаком напряжения на сетке.
Конечно, в случае реальной характеристики амплитуда тока зависит от
величины коэффициента взаимной индукции.
На этом мы закончим рассмотрение систем, совершающих незатухающие
колебания.
Вернемся к линейному уравнению
х -ь 2§х -I- "qX = 0.
Решая его подстановкой
x = emt,
