Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
задать такие начальные условия, при которых отклонение мало, то тем не
менее наверняка наступит момент, когда наши предпосылки сделаются
неправильными. Таким образом, в случае линейное уравнение
принципиально не может
описывать процесс в его целостности, на неограниченном отрезке времени.
При <5<0 процесс автоматически переходит в такую область, где необходимо
исследование с помощью нелинейного уравнения. Абсурдно пользоваться
линейным уравнением тогда, когда нарушена лежащая в его основе
предпосылка; между тем процесс автоматически ведет к ее нарушению.
Речь шла о линейном однородном уравнении с постоянными коэффициентами.
Как обстоит дело с другими линейными уравнениями, например с переменной
правой частью? Могут ли они дать ответ на вопрос о том, что происходит в
ламповом генераторе? Я утверждаю, что не могут.
Такие уравнения соответствуют системам, на которые действуют внешние
силы, зависящие заданным образом от времени. Нас же здесь интересуют
такие системы, которые сами определяют все элементы происходящего в них
процесса. Дифференциальные уравнения таких систем не содержат времени
явно. Такие системы называют автономными.
Если автономная система подчиняется линейному дифференциальному
уравнению, то в общем случае оно имеет вид
dny dn^1y
аn dt" "+' Яп-1 dtа°У -
причем все а,-, а также с - постоянные (вообще говоря, коэффициенты а,-,
линейного уравнения могут зависеть от t). Движения линейных автономных
систем либо затухают,либо нарастают. Ни одно не ведет к установившемуся
периодическому процессу. Говоря точнее, незатухающие колебания могут
получиться в линейной системе только тогда, когда система консервативна.
Но этот случай для
140
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
нас сейчас мало интересен. В консервативной системе нет обмена: энергии,
характерного для генератора: генератор излучает, энергия колебаний
пополняется за счет энергии батареи.
Все линейные системы имеют следующие свойства. Если уг - решение, то Суг
(С-постоянная) тоже решение. Если уг и уъ - решения, то у-1~+-У2~ тоже
решение. В линейной системе периодические решения могут быть только в
отсутствие обмена энергии того типа, о котором только что говорилось
(система консервативна). При этом амплитуда зависит всецело от начальных
условий. Она не определяется самой системой. В генераторе получаются
незатухающие колебания, амплитуда которых, как мы увидим *, не зависит от
начальных условий.
Таким образом ясно, что овладеть процессами в генераторе с помощью
линейных уравнений невозможно.
Очень долго хотели подойти к незатухающим колебаниям "линейно". Пришлось
кардинально пересмотреть весь подход, отказаться от линейности. Правда,
некоторые вопросы, относящиеся к генераторам, можно решить с помощью
линейных уравнений. Я имею в виду вопросы устойчивости или неустойчивости
равновесия. Но на чем остановится нарастание колебаний, какая установится
амплитуда,-об этом на основе линейного уравнения сказать ничего нельзя.
Для этого нужно перейти к нелинейным уравнениям, и здесь возникает
необъятный круг вопросов. Я не могу говорить о них подробно, но я хотел
бы все же их затронуть.
Чего можно ожидать в случае, если положение равновесия, неустойчиво?
Возможен уход изображающей точки в бесконечность. Возможен уход в другое
устойчивое состояние равновесия. Наконец, - и это для нас физически самое
интересное - возможно стремление к замкнутой кривой на фазовой плоскости,
т. е. стремление к периодическому режиму. Каждому незатухающему
колебательному процессу соответствует изолированная замкнутая кривая
(рис. 46), к которой стремятся соседние кривые. Такая кривая чужда
линейным уравнениям. Она называется предельным циклом Пуанкаре. На связь
предельных циклов с незатухающими колебаниями указал А. А. Андронов.
Начав с исследования нескольких простых случаев, он пришел к общему
выводу о том, что* математическим (геометрическим) образом незатухающих
колебаний является предельный цикл.
1 [См. 14-ую лекцию.]
ТРИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
141
Вопрос о фактическом нахождении предельных циклов оставим а стороне. Это
- трудный вопрос. Но важно знать, что искать незатухающие колебания в
неконсервативных системах - это на математическом языке значит искать
предельные циклы.
Фундаментальное отличие от консервативных систем заключается здесь в том,
что энергия системы сохраняется, несмотря на то, что система непрерывно
затрачивает энергию. Откуда же берется энергия для восполнения потерь?
В маятнике Фроуда энергия поступает в систему вследствие .вращения вала.
В случае генератора источником энергии является
анодная батарея. Излучаемая энергия в конечном итоге поставляется
батареей.
Займемся задачей об установлении колебаний в ламповом генераторе. Задача
нелинейная, и для того, чтобы можно было решить
УШ/Ш/////ЖШ
Рис. 47.
ее до конца, мы очень сильно ее упростим, допустим сильную идеализацию.
Для иллюстрации метода начнем с нелинейной задачи о затухающих
