Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
^^ = 2с/, где W=%±b..
Удвоенный логарифмический декремент равен отношению убыли энергии за
"период" к среднему значению энергии за "период".
Приведу некоторые числа. Хороший камертон имеет d порядка 1/10000. Это
значит, что примерно через 10 тысяч колебаний его
9 JI. И. Мандельштам, том IV
130
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
амплитуда уменьшится до 1[3. Без специальных приемов1 нельзя осуществить
электрический контур с таким малым декрементом; здесь в лучшем случае
добивались d^ 0,2.
Конечно, изолированный камертон осуществить нельзя: его колебания
передаются другим тел^м. Равным образом электрический контур всегда
излучает волны. Теория показывает, что обусловленные этим потери можно
приближенно учесть, как увеличение логарифмического декремента.
Камертон и замкнутый электрический контур излучают очень плохо. Чем это
объясняется? Стержни. камертона создают последовательность сгущений и
разрежений воздуха, но стержни колеблются в противоположных фазах:
в тот момент, когда один из стержней
камертона движется вправо, другой движется влево (рис. 38). Происходит
взаимное погашение излучений стержней (интерференция). Камертон излучает
гораздо меньше, чем сумма энергий, которые излучала бы каждая из его
ножек в отдельности. Совершенно такая же компенсация излучений отдельных
элементов происходит в случае замкнутого электрического контура (рис.
39).
Конечно, компенсация происходит не полностью; некоторое излучение
остается. Для вопросов резонанса, воздействия внешней силы на контур,
интересно знать, как зависит "частота" w от затухания. Из (15) и (16)
получаем:
V
Рис. 38.
d
4тг2
Таким образом, малое затухание во втором порядке. Пусть
J9
изменяет "частоту только
d
4тг2
Тогда приближенно
d*_\
' 8тс2)'
Если, например, d = 0,1 (это большой логарифмический декремент), то
частоты и> и различаются всего на 1/8000. Таким образом,
1 [См. 13-ую лекцию.]
ТРИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
131
даже при больших декрементах разница между и % еще ничтожна. В этой связи
следует упомянуть о пьезокварцевых пластинках. Если заряжать обкладки
такой пластинки, то она сжимается или расширяется; если ее сжимать,
обкладки заряжаются. С пьезокварцем можно делать чудеса. Он позволяет
осуществлять системы с чрезвычайно малым логарифмическим декрементом,
например с/= 1/50000. Если логарифмический декремент кварца порядка 10-\
то приблизительно через 10 тысяч колебаний амплитуда уменьшится до 1/3.
При частоте 106 колебаний в секунду это произойдет через Vioo секунды.
Вернемся к вопросу о том, возможны ли системы с отрицательным затуханием.
Посмотрим, что это физически значит, к каким следствиям это приводит.
Начнем с простой механической системы-маятника Фроуда. Это, как мы
увидим, аналог самого простого типа генератора с катодными лампами,
применяемого в беспроволочной телеграфии.
Маятник жестко скреплен со втулкой, насаженной на равномерно вращающийся
вал. Втулка захватывается трением, и маятник отклоняется. Напишем
дифференциальное уравнение движения маятника:
Оно отличается от (6) членом Du выражающим момент силы трения,
действующий на втулку со стороны вала. Этот момент зависит от их
относительной угловой скорости и-<р, т. е. при заданной угловой скорости
вала и-от угловой скорости маятника ф:
Di = f(u - f).
Вид функции / должен быть задан опытом.
ТРИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(8/XII 1930 г.)
Затухающие и нарастающие колебания в линейной системе. Маятник Фроуда
(продолжение). Ламповый генератор. Невозможность незатухающих колебаний в
линейной неконсервативной системе. Нелинейная задача о системе с
постоянным трением. Разрывная идеализация характеристики
электронной лампы.
В теории колебаний терминология еще плохо установилась даже в самых
основных вещах. Величину d-Ьт называют обычно логарифмическим
декрементом, величину 8 - коэффициентом затухания. Гаусс называл
логарифмическим декрементом величину 8т/2. 9*
132
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Если S отрицательно, формулы, полученные в прошлой лекции, остаются
справедливыми, но весь процесс - существенно другой. Вместо затухания
получается нарастание- колебаний, идущее беспредельно. Вопрос заключается
в том, существуют ли физические системы, у которых $ отрицательно, или
это математическая фикция?
На предыдущей лекции мы получили для маятника со втулкой, насаженной на
вращающуюся ось, нелинейное, дифференциальное уравнение
9 -+-[4 -+ D<? = f(u - 9). (1)
Из опыта мы знаем, что с ростом скорости трение в некотором интервале
убывает:
f{u)< 0.
Посмотрим сначала, что будет, если колебания очень малы. Тогда
приближенно
f(u - 9) =/(ы) - /' (и) о,
и уравнение (1) принимает вид
/9 I [и. -+- f (и)] 9 -I- Do = /(и).
Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами, но оно имеет
постоянную правую часть. Если /(м) = 0, то уравнение однородно. При этом
существует решение 9 = 0 - состояние равновесия. Если правая часть
отлична от нуля, то существует равновесное решение
