Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
2 Г
- const.
Рассмотрим колебательный контур (рис. 19), емкость которого медленно
изменяется (раздвигаются пластины конденсатора). Здесь
Li.7 2
U-
Q*_
2 С
1 [См. 9-ю лекцию.]
ОДИННАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
117
где Q-заряд конденсатора, меняющийся по закону
Q = A sin (utf -+~ 9),
причем
Закон сохранения энергии нам дает:
LQ2 , Q9-
~Y-*~2С ~ = cons*-
На фазовой плоскости (Q, LQ) изображающая точка описывает эллипс с
полуосями
\I2CW, \I2LW.
Вычислим работу, совершаемую над конденсатором при изменении емкости. В
каких случаях работа, потребная для изменения емкости, равна изменению
энергии конденсатора Q2/2С? Тогда, когда работа целиком идет на изменение
этой энергии. Так обстоит дело, если конденсатор изолироьан и,
следовательно, его заряд Q остается постоянным.
Пусть мы изменили емкость изолированного конденсатора на dC, раздвинув
или сблизив пластины. Работа раздвижения пластин изолированного
конденсатора
dA = dU=d^ = -~^dC= - ^dC
(положительная работа dA^> 0 соответствует dC<СО, т. е. раз-движению
пластин). Но можно утверждать большее, а именно: работа раздвижения
всегда выражается формулой
dA = - %dC, (17)
так как сила, действующая между пластинами, не зависит от того,
изолированы они или нет (последнее имеет место, например, если они
соединены с источником постоянного напряжения). Но рассмотрение
изолированного конденсатора позволяет получить формулу (17) наиболее
просто.
118
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Если изменение параметра очень медленное, то можно считать величину С/С
постоянной в течение одного периода колебаний. Тогда работа, совершаемая
за период колебаний т, будет
. X .
b.A = - %\Udt = - ^-Th. (18)
О
Но
аМг. <19>
где ДС - изменение емкости за время т. Подставляя (19) в (18), получаем:
Эта работа пошла на увеличение полной энергии W:
Д С IV
или
С другой стороны, откуда
ЛЙ?Г 2 С
A IF АС
W ~~ 2 С '
т -2 -\/LC,
Дт ДС
Т 2С •
(20)
(21)
Сравнивая (21) и (20), получаем:
Т-4-^ = °- (22)
В нашем случае (гармонический осциллатор)
W=2Т,
и, следовательно, на основании (22) мы снова получаем:
2 Т
-- const.
Во всех рассмотренных нами случаях отношение средней кинетической энергии
к частоте является адиабатическим инвариантом. Этот результат был обобщен
на любую консервативную систему с одной степенью свободы1.
1 [Обобщение на случай п степеней свободы см. С. М. Р ы т о в, Труды
ФИАН, т. 2, вып. 1, стр. 41. Изд-во АН СССР, 1939].
ДВЕНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
119
ДВЕНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(5/XII 1930 г.)
Адиабатические инварианты (окончание): квантование осциллатора по
Планку и теория адиабатических инвариантов; гипотеза Эрен реста.
Квантование осциллатора в волновой механике. Колебательные системы с
одной степенью свободы с учетом трения (сопротивления). Отрицательное
сопротивление и второй закон термодинамики. Коэффициент полезного
действия-процесса зарядки конденсатора аккумуляторной батареей.
Затухающие колебания: коэффициент затухания; логарифмический декремент.
Маятник Фроуда.
Вернемся к адиабатическим инвариантам и при этом кое-что дополним и
подчеркнем.
Речь шла о применении классической механики к объяснению некоторых
молекулярных явлений.
Механика не содержит в себе всех элементов, необходимых для объяснения
этих явлений. Она не отвечает на вопрос: как движется тело? Механика
отвечает только на вопрос: как движется тело, если заданы начальная
скорость и начальное положение? Начальные положения и начальные скорости
мы знаем - или можем узнать - в случае макроскопических тел. В
микрокосмосе должен быть введен некоторый новый постулат. Естественно
указать вероятности различных состояний микросистем (молекул, атомов).
Здесь натолкнулись на следующую трудность. Если принять, что все
начальные состояния возможны, и в согласии с этим предположением
построить теорию черного излучения и теорию твердого тела, то получается
грубое противоречие с опытом. Чтобы построить удовлетворительную теорию,
нужно что-то в корне изменить, сделать какой-то решающий шаг. Планк
сделал его-не в механике, а в статистике. Планк считал, что осцилла-тор
движется по классическим законам, но начальные состояния не произвольны,
а таковы, что энергия отдельного осциллатора
W=nh.4 (л = 0, 1, 2,...).
На основе этого предположения была создана новая статистика, я это дало
блестящие результаты.
Однако нужно было отнестись к ним критически. Нужно было выяснить, как
новые результаты уживаются с другими, твердо установленными. Как бы
хорошо ни оправдывалась на опыте новая теория, все же оставалась
известная неудовлетворенность,
120
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
какое-то неприятное состояние. Тут и возник тот вопрос, который мы теперь
разбираем.
Будем считать, что осциллатор движется по законам классической механики.
Следуя Планку, будем считать, что
Возьмем другой осциллатор, с другой энергией IF' и с другой частотой v'.
Мы снова пишем:
Все это не противоречит механике (повторяю: механика о начальных
