Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Р,=^*е. (1б>
Это - закон Релея-Джинса. Опыт показывает, что он справедлив для высоких
температур и для низких частот, но катастро-
ДЕСЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
109
'фически неверен для низких температур и для высоких частот. Если мы
захотим найти, исходя из (16), полную энергию излучения Е в единице
объема, то мы получим:
Вследствие того, что спектральная плотность р* неограниченно растет с
частотой, получается, что при заданной температуре полная энергия
бесконечно велика. Если же энергия Е конечна, то она вся должна
перекочевать в быстрые колебания. Это - не мелкая неприятность. Это -
нелепость, показывающая несостоятельность всей теории. По теории
получается, что при установлении равновесия между телом и излучением вся
энергия тела перейдет в излучение. В этом состоит так называемая
"фиолетовая катастрофа".
Вин дал для больших частот другую формулу:
ности, он ее угадал, но мы не будем на этом останавливаться. Опыт
показал, что для очень больших частот справедлив как раз этот закон. Он
не приводит к противоречию с законом Стефана-Больцмана, но он не дает
совпадения с опытом при низких частотах.
Планк постарался найти эмпирическую формулу, которая для малых частот
переходила бы в формулу Релея-Джинса, а для больших -в формулу Вина.
Планк нашел такую формулу. Вот она:
Легко убедиться, что для больших частот она переходит в (17), а для малых
- в (16). Оказалось, что формула (18) очень хорошо совпадает с опытом для
всех частот.
Планк решил ее вывести, объяснить, т. е. узнать, какие принципы к ней
приводят. Он сделал при этом важнейший шаг в развитии физики. Он понял,
что для того, чтобы получить эту формулу, необходимо что-то радикально
изменить. Является ли путь Планка единственным? Этот вопрос оставался
открытым.
Планк вернулся к исходным пунктам теории. Он оставил в силе соотношение
(15) и сказал: весь вопрос - в нахождении W.
г, 87Г&0
Е- -з~
С6
СО
| v2 d't - со .
о
(17)
где А и 7.- постоянные. Как Вин получил эту формулу? В сущ'
ПО ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
В чем и как нужно изменить формулы (6) и (7)? Планк говорит: механика
остается в силе, но нужно изменить начальные условия. Энергия осциллатора
определяется начальными условиями. По принципу Больцмана возможна любая
энергия. Планк противопоставил этому утверждение: энергия осциллатора
может иметь только совершенно определенные значения, а именно:
0, Av, 2Av, 3Av,. ..,
где А - некоторая постоянная. Это не выводится. Это - совершенно
неожиданный "дикий" постулат. Механике он не противоречит, так как это -
статистический постулат.
Энергия осциллатора
где S-площадь соответствующего эллипса на фазовой плоскости1. Поэтому
постулат Планка можно сформулировать так: на фазовой диаграмме возможны
только те эллипсы, для которых
S - nh (п = 1, 2, 3,...).
Иначе говорят так: энергия осциллатора не может быть произвольной, она
квантуется. Квант (доза) энергии равен Av; он тем больше, чем больше
частота.
ОДИННАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(28IXI 1930 г.)
Вычисление средней энергии квантованного оси,иллатора. Квантовые формулы
для спектральной плотности равновесного излучения и для энергии твердого
тела. Понятие адиабатического инварианта. Адиабатическая инвариантность
отношения средней кинетической энергии к частоте (на примерах).
Планк предположил, что энергия осциллатора может принимать только
дискретный ряд значения
IF=0, Av, 2Av,..hAv,..., (1)
причем вероятность того, что осциллатор обладает энергией nAv, т. е.
находится в н-ом состоянии, есть
Рм = Ле"нЬ/№.
1 [См. 9-ю лекцию.]
ОДИННАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
111
Вычислим, исходя из этого постулата, среднюю энергию осциллатора:
^ I' -nh'/jkQ
причем
JF=2nAv-A? ' , (2)
П=:0
2^ = 2 Ае~пЪф". (3)
п=0 п=0
Исключая А, получаем:
?? _ - nhv/kQ
Z nhve
yp==nI0-------------
v - nh'ijkQ
n-0
Как и в предыдущей лекции, обозначим
а = 1 /кв, (4)
Тогда
F=/,(")//" (а), (5)
где теперь
/0=2*-"*", л=2"Av
п-О н -0
Нетрудно видеть, что
/!(*) = -/"'(")•
/0 есть сумма геометрической прогрессии:
-м/iva
= (6)
Дифференцируя это выражение по а, получаем:
Avi
- Avoe
/i(g) = 7rL -W (7)
(1 - е Y
Подставляя (6), (7) и (4) в (5), мы приходим к следующему выражению для
средней энергии осциллатора:
112
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Здесь средняя энергия уже существенно зависит от частоты осциллатора.
Подставляя выражение (8) в формулу для плотности энергии излучения:
Р v = ^ir W,
находим:
8тг AvS 1
PV ' ?2 ehtik(i - 1 -
Таким образом, гипотеза Планка приводит к формуле для спектральной
плотности равновесного излучения, которая, как было сказано в прошлой
лекции, находится (при соответствующем выборе константы А) в полном
согласии с опытом.
Применим выражение Планка для W к задаче о теплоемкости твердого тела.
Энергия твердого тела, состоящего из N атомов, колеблющихся около своих
положений равновесия с одинаковой собственной частотой v, равна
? = ЗЛГТГ=^^т. (9)
Дифференцируя (9) по @, мы найдем выражение для теплоемкости, хорошо
