Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
положительно; если одна навита налево, другая -направо (рис. 44,6), то М
отрицательно.
Из (5) и (6) получаем:
/-+- 2<>/н- шГ>/- - MI-+- D(euо - /./)]• (7)
Мы решили первую задачу-установили дифференциальное уравнение.
Схема, которая была только что изложена, чрезвычайно упрощена.
1. Если рабочая точка лампы попадает в область ед^> О, то электроны
частью попадают на сетку. Мы не принимаем во внимание этот ток сетки. В
настоящее время работают так, что сеточный ток очень мал. Но в технике
иногда приходится с ним считаться.
2. Когда мы писали напряжение на аноде в виде еа0-Ы, мы не приняли во
внимание составляющую RI напряжения на контуре. Легко видеть, что чем
меньше логарифмический декремент контура, тем меньше эта составляющая по
сравнению с -LI. Если предположить, что колебания близки к синусоидальной
форме ^4coso>f, то
RI-RA, LI-AoL,
и отношение этих величин будет порядка
R _d
wZ, ТС
Таким образом, когда R/L мало по сравнению с ы, т. е. логарифмический
декремент контура мал, составляющей RI можно пренебречь. Если бы мы
приняли ее во внимание, то это очень усложнило бы задачу. Но для
линейного случая можно провести и такое, более полное, рассмотрение.
0 0 00
ТРИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
137
Уравнение (7)-опять нелинейное уравнение, но вблизи равновесия можно
свести задачу к линейному уравнению с постоянными коэффициентами так же,
как в задаче о маятнике Фроуда. Можно написать приближенно, для малых /,
разлагая функцию / в ряд и отбрасывая члены порядка выше первого:
/н-2?> /-+- wo /= ыо/(е,/0 -+- Dea0) - c>af' (ef/0 l Dea(s) (M-t-DL) I.
Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами и с постоянной правой
частью.
Какие здесь возможны случаи? Если коэффициенты положительны, то нет
ничего нового по сравнению с обычным затухающим контуром. Если
коэффициент при первой производной от тока отрицателен, то будет
нарастание колебаний. Где граница между обоими случаями?
Производная /' (ед0 ¦+¦ DeaQ) от анодного тока - это крутизна
характеристики S в данной рабочей точке (трубки в основном
характеризуются двумя постоянными: S и D). При
2%-+-<"lS(M + DL)>0
имеет место затухание, но при
2S-i-"2.S(i/-t-DL)<0 (8)
будет нарастание колебаний. Таким образом, равенство
DL) -- О
дает границу самовозбуждения генератора.
Когда имеет место (8), генератор сам раскачивается. Это> неравенство
можно написать немного иначе:
R -4- {M + BL)S ^ Q ^
Отсюда следует одно интересное замечание. Так как ?> О, С> О, ?>>0, S>0,
то для нарастания колебаний необходимо, чтобы было
м< о,
138
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
т. е. нужно связать катушки вполне определенным образом (если одну
катушку перевернуть, колебания пропадут). Чтобы величина
28-
\S(M-+-DL) была отрицательна, нужно, кроме того, связать
катушки достаточно сильно. Формула (9) - одна из основных формул
радиотелеграфии.
Сделаем общее замечание. При 8 < О имеем:
х =const -+-Де+1 cos ("># -i- ср).
(Ю)
Нарастающие колебания получаются, если А=?=0. Имеется положение
равновесия х = const, но равновесие - неустойчивое. Пусть
вначале х равно const -+- сколь угодно малая величина. Это и значит, что
А отлично от нуля. Дальнейший процесс описывается уравнением (10).
Система все дальше и дальше отходит от положения равновесия. Смотря
потому, будет ли 8 <С 0 или 8 0, мы имеем
дело с неустойчивым или с устойчивым положением равновесия.
Уже при рассмотрении консервативной системы мы встречали устойчивые и
неустойчивые состояния равновесия*. Они были связаны с определенными
типами особых точек на фазовой плоскости. В случае центра равновесие
устойчиво, в случае седла - неустойчиво. Применим здесь тот же подход -
рассмотрим фазовую плоскость. Она будет теперь иметь совсем другой вид,
чем в случае консервативной системы. Здесь нет континуума замкнутых
интегральных кривых, а есть семейство спиралей. В консервативных системах
в окрестности устойчивого равновесия колебания периодические. Здесь же
колебания около устойчивого равновесия обязательно затухают, и система
стремится возвратиться в равновесное состояние (рис. 45,а). Если имеет
место неустойчивость, то система совершает нарастающие колебания и
беспредельно удаляется от состояния равновесия (рис. 45,6). Оба эти
случая, как вы видели, могут осуществиться на практике. Особые точки
типа, изображенного на рис. 45, а и б, называются фокусами (устойчивым и
неустойчивым). Движение по интегральным кривым происходит по часовой
стрелке.
1 [См. 9-ую лекцию.]
ТРИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
139
Всякое исследование предполагает идеализацию. Написав линейное уравнение,
мы ограничились малыми колебаниями. При S^>0 уравнение, которое мы
писали, полностью могло охватить проблему. Здесь в течение всего процесса
от ? = 0идо? = оэ у нас нет увеличения амплитуды. Если предпосылки
малости выполнены вначале, то они еще лучше выполняются в дальнейшем.
Линейное уравнение давало, таким образом, ответ на вопрос о том, каков
весь процесс. В случае, когда ^<С0, дело обстоит совсем иначе. Если даже
