Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
и проинтегрируем от 0 до t:
Lit
Y R | i2dt ¦
Qt_ 2 С
Qo 2 С
= S J idt.
(9)
1 [Ср. 27-ю лекцию.]
126
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
В случае зарядки начальные условия при t = 0 таковы:
*о:=: 0" Qo==0- (10)
При t= со имеем:
it - ioo = 0, Qi-Qco=CS, (11)
причем
СО
| idt = Qco. (12)
о
Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получаем:
СО
R j i4t~r ^=CS\
0
ИЛИ
R°\i4t = ~. (13)
о
Половина [энергии, отдаваемой батареей, уходит на зарядку конденсатора, а
другая половина превращается в теплоту. Можно как угодно менять
сопротивление и индуктивность контура, коэффициент полезного действия
при рассматриваемом способе зарядки
всегда будет равен 1/2. Это - самый невыгодный способ зарядки,
какой только существует.
Результат (13) относится к случаю, когда мы в один прием заряжаем
конденсатор до конца, до разности потенциалов &. Но можно осуществить
зарядку постепенно, порциями. К. п. д. оказывается тогда выше. Убедимся в
этом.
Если конденсатор уже имеет начальный заряд Q0-CS0 [в отличие от (10)], то
при включении электродвижущей силы S St> на него перетечет заряд {t-> со)
t
J idt~C{S - S0).
о
Пользуясь этими выражениями вместо (10) и (12), нетрудно получить из (9),
что
J Pdt= с .
о
ДВЕНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
127
Будем производить зарядку п ступенями, повышая каждый раз электродвижущую
силу на величину S/n и выжидая, когда ток (практически) прекратится.
Тогда теплота, развиваемая за один шаг, будет
С ( SV
а полная теплота за все п шагов
С?2
Ч = пЧ 1 = ^Г-
Мы видим, что с ростом п (и соответственно с замедлением процесса
зарядки, до окончательного потенциала ?) потери уменьшаются и к. п. д.
стремится к единице. Физически это понятно: сила тока при каждом шаге,
грубо говоря, в п раз меньше, чем при единовременной зарядке, а теплота
квадратична относительно тока. Отсюда и получается выигрыш в п раз, но
вместе с тем и замедление процесса примерно в п раз.
Из уравнения (7) можно получить полную картину колебательного процесса.
Характер решения зависит от того, каков дискриминант характеристического
уравнения. Если
^>*2,
то общее решение имеет вид
х = Ае~'^ cos(<of-t-9), (14)
где
U)=^/U)2 - §2
- действительная величина, а А и <р--произвольные постоянные. Если
"к82.
то общее решение таково:
x-Ae~mit -+- Be~m'l,
где т1 и т2 - действительные величины, а Ли В - произвольные постоянные.
Этот случай мы пока рассматривать не будем \
1 [См. 14-ю лекцию.]
128
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Решение (14)-осциллаторное (рис. 37). Оно имеет бесконечное множество
максимумов и минимумов. Но оно не периодическое: не существует такого т,
чтобы при любом t было
дс (/ -ь т) = л: (i).
Однако нули функции х (t) повторяются через -равные промежутки времени.
Обозначим:
2т ы
Т = , V = .
ы * 2т:
Величину т принято называть периодом, хотя это и неправильно; повторяю:
периода здесь нет.
Промежуток времени между последовательными максимумамиx(t) тоже постоянен
и равен т; поэтому "период" здесь имеет двойной смысл. Максимумы
находятся не посредине между нулями, а сдвинуты влево; но если то
сдвиг очень мал. Если S очень
мало, то в течение некоторого времени система ведет себя приблизительно
так, как если бы затухания не было. В ее внешних действиях часто
проявляются черты, характерные для незатухающих колебаний. Но в других
случаях имеется существенное отличие между слабо затухающими и
незатухающими колебаниями. Для некоторых задач можно считать, что (14)
есть "синусоидальное колебание с переменной амплитудой".
Величина <5 имеет размерность, обратную времени. Ее называют
коэффициентом затухания. Если он мал, то убывание амплитуды происходит
медленно.
ДВЕНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
129
Каково отношение двух последовательных амплитуд (т. е. максимумов)?
Обозначив их через А" и Ап+1 (рис. 37), имеем:
¦Ап+1
Разность логарифмов этих величин есть
с/ = 1пА" - In^4B+1==Sr. (16)
Эту безразмерную величину называют логарифмическим декрементом (иногда
называют логарифмическим декрементом половину этой величины, но я
предпочитаю называть логарифмическим декрементом St).
Фаза 9 и начальная амплитуда А колебания (14) задаются начальными
условиями, система же задает "период" т и логарифмический декремент d.
Чтобы хорошо понять физический смысл логарифмического декремента, нужно
"вработаться" в это понятие.
Пусть начальная амплитуда равна А. Через п периодов амплитуда будет
Ае~пй. Подождем пока будет е~шг = е~1, т. е. амплитуда уменьшится в е раз
(грубо - в 3 раза). Это будет тогда, когда nd=l, т. е. число "периодов",
протекшее от начала процесса, станет равно
1
n = ~d-
Таким образом, обратная величина логарифмического декремента есть число
периодов, по истечении которого амплитуда уменьшается в е раз.
Можно дать логарифмическому декременту другое физическое толкование.
Пусть система колеблется. Вследствие затухания, ее энергия постепенно
уменьшается. Пусть в некоторый момент система имеет энергию W0, а через
"период" т - энергию WY. Как показывает простой расчет,
