Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
колебаниях. Возьмем случай постоянного трения (это хорошо известный
пример).
Пусть на горизонтальном столе лежит масса, привязанная к двум пружинам
(рис. 47). Здесь очень неплоха следующая идеализация: сила трения по
абсолютной величине постоянна и равна ^mg. Сила трения положительна или
отрицательна, смотря по тому, движется ли масса влево или вправо (так
называемое сухое трение).
Задача математически ставится так:
тх 1- kx -¦->mg при х^>0; тх -+- kx = -t-kmg при х 0.
Таким образом, нужно решить два уравнения, причем одно
142
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
сменяет другое, когда меняется знак х. В этом заключается нелинейность
задачи.
Найдем решение первого уравнения. В силу этого решения скорость х в
некоторый момент обращается в нуль. Дальше скорость будет отрицательной.
Нужно перейти в этот момент ко второму уравнению и взять для него в
качестве начальных условий те условия, которые получились в конце
движения, описанного первым уравнением. Таким образом, мы упрощаем
задачу: вместо чрезвычайно трудной задачи, задаваемой нелинейным
уравнением, решаем две задачи, задаваемые линейными уравнениями. Потом мы
припасовываем их, т. е. составляем решение нелинейной задачи из отдельных
кусков решений линейных задач.
Аналогичным образом можно рассмотреть задачу о колебании стрелки,
опирающейся на иголку; здесь также имеет место сухое трение.
Решения уравнений (11) изображают незатухающие синусоидальные колебания
вокруг сменяющихся положений равновесия (рис. 48). При этом
предполагается, что начальное отклонение превосходит по абсолютной
величине lmg/к (в противном случае упругая сила уравновешивается силой
трения покоя и тело остается в равновесии). В результате чередования
кусков синусоидальных колебаний около двух положений равновесия движение
затухает, причем легко видеть, как уменьшаются последовательные
амплитуды. Если в начале амплитуда равна х0, то последующие амплитуды
будут
х0-2А^, х0 4А , ...
Наступит момент, когда масса попадет в полосу
и на этом движение прекратится. В противоположность линейному случаю, где
покой наступает через бесконечное время, здесь он наступает через
конечное время.
Вы видите, как просто и изящно здесь удается справиться с нелинейностью.
Представим себе другой случай. Пусть "трение" направлено по движению,
причем величина трения попрежнему постоянна.
Решая задачу таким же способом, мы увидим, что амплитуда
будет неограниченно расти. Пусть теперь, наряду с этим "тре-
ТРИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
43
нием", есть вязкое трение, пропорциональное скорости и направленное
против движения. Метод остается в силе, и задачу можно решить очень
легко.
Случай, о котором идет речь, осуществляется в ламповом генераторе при
соответствующей идеализации характеристики.
Рис. 48.
Если характеристика (рис. 49) очень крутая и если размах напряжения на
сетке достаточно велик, то большая часть пути изображающей точки
приходится на горизонтальные части характеристики. Можно поэтому
идеализировать характеристику так, как показано жирными прямыми на рис.
49.
Получается задача, аналогичная той, которую мы только что решали: два
сменяющиеся линейные уравнения с постоянными правыми частями.
Мы рассмотрим в следующей лекции такой упрощенный ламповый генератор.
Окажется, что в нем возможен периодический процесс, и мы найдем его
амплитуду. Это не та амплитуда, которая действительно устанавливается, но
для ответа на ряд принципиальных вопросов этого упрощенного рассмотрения
достаточно.
144
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(151X11 1930 г.)
Идеализированный ламповый генератор. Периодическое движение. Его
устойчивость. Процесс установления колебаний. Предел применимости
идеализации. Изменение мощности генератора при параллельном включении
нескольких ламп. Коэффициент полезного действия генератора. Линейная
система с одной степенью свободы; случай, когда движения апериодичны.
Действие внешней периодической силы на линейную систему с одной степенью
свободы; предварительное понятие о резонансе.
В маятнике Фроуда и в ламповом генераторе происходит возрастание
колебаний, положение равновесия неустойчиво. Линейное уравнение не может
дать ответа, каков будет установившийся режим. Мы вступили, таким
образом, в область нелинейных колебаний и нелинейных уравнений.
Процесс, происходящий в ламповом генераторе, нельзя охватить одним
линейным дифференциальным уравнением, но, как уже было сказано, его можно
описать в некоторых случаях с помощью двух различных линейных уравнений.
При этом приходится работать с разрывными функциями. Этот прием
идеализации приводит в некоторых случаях к хорошим, проверенным на опыте
результатам.
Остановимся на практически исключительно важной задаче о том, каковы
установившиеся колебания в ламповом генераторе. Для того, чтобы решить
эту задачу, характеристику лампы мы принимаем разрывной. Мы идеализируем
задачу так: когда сеточное напряжение отрицательно, анодный ток равен
