Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
состояниях ничего не говорит). Но мы можем себе представить другую
постановку задачи. Сначала мы задали определенные начальные условия.
Затем мы начали медленно менять параметры осциллатора. Наконец, параметры
мы опять зафиксировали. Все это - одна механическая задача. Здесь все
однозначно определено начальными условиями. Посмотрим, какова энергия
осциллатора в конце процесса изменения параметров. Теперь мы не вольны
отвечать на этот вопрос независимо от механики. Лоренц говорит1:
вследствие изменения параметра произошло изменение частоты* поэтому
условие (1) теперь нарушено. Представим себе маятник. Начальные условия
таковы, что он квантован. Затем мы начали его медленно укорачивать. В
результате перед нами короткий маятник. Может случиться, говорит Лоренц,
что этот короткий маятник не квантован. Конечно, это рассуждение
предполагает, что классическая механика остается справедливой. В нем
заключена такая мысль: два независимых осциллатора с частотами v и v'' мы
имеем право квантовать, но если мы переводим один в другой, хотя бы сколь
угодно медленно, то нет этой свободы,-мы связаны классической механикой.
Все направление мысли здесь таково,, что для медленных изменений
параметра сохраняется классическая механика.
На это можно ответить так: откуда известно, что при медленном изменении
параметра нарушается условие (1)? Изменяя пара-
1 [Н. A. L orentz. La theorie du rayonnement et les quanta. Rapports et
discussions de la Reunion tenue a Bruxelles. 1911. Стр. 450. Париж,
Готье-Вил-лар, 1912.]
ДВЕНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
121
метр, мы совершаем некоторую работу и, следовательно, изменяем энергию
системы. В начале частота осциллатора была v. Мы задали начальную энергию
W, равную nAv. Откуда мы знаем то, что новая энергия W' не окажется
равной nAv'? Может быть, работа совершена как раз такая, какая нужна,
чтобы новое значение энергии было равно nAv'?
Здесь возникает чисто механическая задача: дана система с одной степенью
свободы; мы изменяем ее параметры, и при этом изменяются период и
энергия; какие функции этих величин остаются постоянными?
Эту механическую задачу решил Больцман. Он показал, что есть величина,
которая при медленном изменении параметров остается постоянной, и указал
эту величину. В общем случае это не W/ч, а
где Т-среднее значение кинетической энергии. Эта чисто механическая
теорема сразу устраняет неприятности в квантовой теории, связанные с
изменением параметра.
Величины, которые остаются неизменными при медленном изменении параметра,
называются адиабатическими инвариантами. О них подробно говорилось в
связи с рядом примеров в прошлой лекции.
Планк квантовал не величину (2), а величину (1), - полную энергию,
деленную на частоту. Он не думал о том противоречии, возможность которого
мы обсуждаем. Планк рассматривал частный случай - гармонический
осциллатор. Для него "случайно" Планк правильно угадал, как надо
квантовать: отношение W/ч равняется для гармонического осциллатора 27'/v.
Во многих случаях (а именно: если потенциальная энергия - однородная
функция) существует постоянное отношение между полной энергией и средней
кинетической энергией1. По возможны случаи - и это самые распространенные
случаи, - когда не существует такого постоянного отношения. Например, для
маятника с большой амплитудой W и 2Г не находятся в постоянном отношении.
Там W/ч не является адиабатическим инвариантом.
После того, как все это выяснилось, начали поступать наоборот. Стали
разыскивать величины, являющиеся адиабатическими
1 [См. 10-ю лекцию.]
122
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
инвариантами и их квантовать. Так, например, маятник - нелинейная
система, и здесь нужно квантовать 2/'/v. Теория адиабатических
инвариантов показала, таким образом, что у Планка нет противоречий с
механикой. С другой стороны, она помогла дальнейшему развитию квантовой
теории. Конечно, указание на то, что квантовать нужно величины,
являющиеся адиабатическими инвариантами, было только гипотезой. Эта
гипотеза была высказана Эренфестом.
Следует ясно себе представлять, что существование адиабатических
инвариантов ничего общего с квантами не имеет. О нем знал уже Больцман, и
интересовался он адиабатическими инвариантами в связи с чисто
механическими вопросами. Он исходил из желания - это было давно, до
квантов - свести тепловые явления на механические.
Итак, теорема об адиабатических инвариантах есть чисто механическая
теорема. Она имеет прямое отношение к теории колебаний. Это - теорема
теории колебаний, относящаяся к медленным изменениям параметров
консервативных систем. В дальнейшем пришлось отказаться от планковской
установки на удержание классической механики и на дополнение ее правилами
квантования. Современная волновая механика создана путем отказа и от
самой классической механики, но теория адиабатических инвариантов имеет
большое значение и там.
Я не буду здесь говорить о всей концепции волновой механики и ограничусь
