Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 46

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 160 >> Следующая

нулю; когда сеточное напряжение положительно, анодный ток равен току
насыщения. Такая идеализация возможна в том случае, когда размахи
сеточного напряжения очень велики по сравнению с интервалом сеточного
напряжения, в котором происходит заметное нарастание анодного тока. Когда
этот интервал пробегается очень быстро, такая идеализация качественно
правильна и позволяет уяснить себе механизм явлений, хотя количественно
она недостаточна.
В рассматриваемом ламповом генераторе (рис. 43)
ПУТ dI
ея ег0 - dt '
Мы уже видели, что равновесие может быть неустойчиво при М<0, т. е. если
напряжение на сетке положительно тогда, когда
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
145
ток / в колебательном контуре нарастает. При сделанной идеализации
характеристики (рис. 49) анодный ток:
i" = > 0 при "у > 0;
ia - 0 при ^7<0.
Мы получаем следующие два дифференциальные уравнения:
7 -1 2S/-I 41 = ыог" при /> 0; (1)
7 -+- 2§/-+- щ1- 0 при /<0. (2)
Как связать их решения? Начнем с такого состояния, при котором /> 0. При
этом нужно пользоваться уравнением (1). В какой-то момент / обращается в
нуль и меняет знак и нужно перейти к уравнению (2). Ни ток, ни напряжение
не могут иметь скачков. Поэтому в момент, когда мы переходим к уравнению
(2), мы должны взять за начальные такие значения / и /, которые
получаются в этот момент из уравнения (1). При максимальном (по
абсолютной величине) отрицательном значении I производная I опять
проходит через нуль и становится положительной. Нужно опять прибегнуть к
уравнению (1), соблюдая условие непрерывности / и /, и т. д.
Оба уравнения дают затухающие колебания "периода "
______2т^_
V"o-82
но возле различных положений равновесия: уравнение (2) - около нуля,
уравнение (1) - около /=г., (рис. 50). Если в начальный момент /=/"]> 0,
/=0 (максимум тока), то через полколебания (через время т/2) мы будем
иметь ток
/'=-/0е-8*'2,
а после полного колебания (еще через время т/2) ток будет равен 11 =
/0е(tm)-А- г,(1 • (3)
Периодическое повторение, т. е. незатухающее колебание, получится при
условии, что
/] - /"• (4)
10 Л. И. Мандельштам, том IV
146
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Если это возможно, то система уравнений (1) и (2) допускает периодическое
решение. Требуя, чтобы наряду с (3) выполнялось условие (4), мы получаем
Такова амплитуда установившегося колебания. Она определяется параметрами
системы и не зависит от начальных условий. Такая
нужно разложить процесс в ряд Фурье. При St<5?:1 колебания очень близки к
синусоидальным.
С помощью уравнений (1) и (2) легко разрешить следующие вопросы:
1. Устойчиво ли найденное периодическое решение? Может случиться, что
существует периодическое решение, но оно не соответствует реальному
периодическому процессу. Нужно ввести новое понятие--понятие устойчивого
периодического движения. Вопрос заключается в следующем: если слегка
изменить начальные условия, то останется ли движение вблизи
периодического или уйдет от него? Реальным периодическим процессам
соответствуют только устойчивые периодические движения.
откуда
(5)
а
установившаяся амплитуда - нечто существенно новое по отношению к
линейным системам.
Если St мало по сравнению с единицей, то приближенно
t
Г
Рис. 50.
При этом /0 очень велико по отношению к току насыщения is. Каждое
колебание состоит из двух половин "затухающих синусоид". Чтобы
количественно охарактеризовать отличие колебания от синусоидального,
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
147
2. Устанавливается ли найденное периодическое колебание? (Мы доказали
возможность периодического режима, но мы не доказали, что этот режим
действительно устанавливается при любых начальных условиях).
Построим график 1г как функции /0, т. е. график уравнения (3). Это будет
прямая линия АВ (рис. 51). Ее точка пересечения с прямой /х = /0
соответствует найденному периодическому решению. Если мы начнем с
произвольного начального значения Г0 меньшего, чем амплитуда
периодического решения, то мы найдем значения амплитуды через период,
через два периода и т. д. построением, показанным на рис. 51. Если в
начале амплитуда больше значения, соответствующего периодическому решению
(например,
/;0' на рис. 51), происходит аналогичный процесс с обратной стороны. Мы
видим, что при любойначальной амплитуде точка, изображающая колебание
генератора стремится к точке пересечения, показанной на рис. 51.
Таким образом, мы приходим к выводу, что периодическое решение не только
существует, но является устойчивым периодическим решением.
Откуда бы ни начался процесс в рассматриваемой схеме, при сделанной
идеализации он обязательно придет к периодическому решению (5). На
практике бывают случаи, когда периодические колебания существуют, но они
устойчивы только "в ма-лом", только по отношению к достаточно малым
изменениям начальных условий. С этим связаны известные явления "срыва" в
ламповом генераторе. Устойчивость "в малом" и "в большом" (т. е. по
отношению к любому изменению начальных условий) - разные вещи. Положение
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed