Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 39

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 160 >> Следующая

лишь тем, что она изменила в вопросе о гармоническом осциллаторе. Она
утверждает, как и Планк, что энергия гармонического осциллатора принимает
лишь ряд дискретных значений. Но, по Планку, эта энергия может иметь
значения
(существенно, что осциллатор может иметь энергию, равную нулю). Согласно
же современной волновой механике, состояния с энергией, равной нулю, не
существует. Энергия гармонического осциллатора равна
О, Av, 2Av, ...
(п - целое),
т. е. равна
Av 3Av 5Av
двенадцатая лекция
123
При абсолютном нуле температуры все осциллаторы имеют наинизшую энергию
Av/2. Наличие этой "энергии абсолютного нуля" чрезвычайно типично для
волновой механики. Оно приводит к далеко идущим следствиям.
Перейдем теперь снова к более прозаическим вещам.
Вернемся к резонатору с одной степенью свободы, но отбросим часть
сделанных ранее идеализаций. До сих пор мы считали, что маятник имеет
кинетическую и потенциальную энергию (контур- магнитную и электрическую),
причем от их превращения в теплоту мы отвлекались (рассматривая контур,
мы вводили параметры L и С, но не вводили сопротивления). Отсюда
следовало, что процесс колебаний повторяется периодически. Но в
действительности при колебаниях всегда развивается теплота. Маятник
всегда имеет трение, контур--сопротивление. Учет трения или сопротивления
приводит к теории затухающих колебаний.
Будем исходить из закона сохранения энергии. В случае колебательного
контура
?(?-?)-"¦-<' <3>
(за единицу времени в электрическом контуре рассеивается энергия Ri2).
Проводя в (3) дифференцирование и принимая во внимание,
что
dt
мы получаем дифференциальное уравнение
<4>
Аналогичное уравнение для механической системы имеет вид
"• да+ "#-*-fa = 0. <5>
Оно получается в предположении, что энергия, превращаемая в теплоту в
единицу времени, пропорциональна квадрату скорости, т. е. в
предположении, что сила трения пропорциональна скорости. При малых
скоростях закон трения (например, сопротивления воздуха) очень близок к
этому. Но при больших скоростях, например для снаряда, уже ничего
подобного не получается.
124
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
В случае вращательного движения мы найдем при аналогичных предположениях
уравнение
+(лЙ'+~/^==0>
где /-момент инерции, D - момент упругой силы при отклонении, на угол <р
= 1, а у. - момент силы трения при угловой скорости 9=1.
Уравнения (4), (5) и (6) мы запишем в общем виде:
х -+- = 0. (7)
Здесь <и0 - циклическая частота того процесса, который происходил бы в
системе в отсутствие трения.
Мы считаем, что S>0, т. е. что сила трения всегда действует против
движения. При этом во время колебаний электрическая и магнитная энергия
(или кинетическая и потенциальная) превращаются в теплоту. Может ли Ь
быть отрицательным? При отрицательном трении энергия входила бы в
систему, происходило бы превращение теплоты в электрическую и магнитную
(кинетическую и потенциальную) энергию. Это не противоречит первому
закону термодинамики, но противоречит второму.
Если бы было ^<0, мы могли бы заставить контур колебаться загсчет энергии
окружающего "теплового резервуара", мы могли бы с помощью периодического
процесса черпать энергию у одного резервуара и превращать ее в работу:
осуществилось бы регре-tuum mobile второго рода. К сожалению, этого
сделать нельзя. Поэтому мы должны считать постулативно, что если нет
другого источника энергии, то S^>0. Этим вовсе не сказано, что ни при
каких условиях не может быть S<^0. Системы с §<0 существуют, и они, может
быть, даже важнее тех, где <1^>0. В дальнейшем мы рассмотрим и системы с
S<^0.
Обратим теперь внимание на такой вопрос. Прежде чем разрядить
конденсатор, надо его зарядить, например с помощью аккумуляторной батареи
(рис. 35). Как написать дифференциальное уравнение для процесса зарядки?
Рассмотрим более общий случай разветвленной цепи (например, рис. 36).
Для составления уравнений разветвленной цепи закон сохранения энергии
недостаточен. Здесь нужно воспользоваться первым и вторым законами
Кирхгофа, учтя, что падения напряжения на
ДВЕНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
125
индуктивностях и емкостях имеют вид L-^f и Я не буду обосновывать этот
общий рецепт составления уравнений электрических цепей. Его обосновать не
так просто, ибо, строго говоря, здесь неправильно пользоваться' понятием
потенциала или напряжения, так как электрическое поле не является здесь
статическим.
?Tl,l,!,lh
Рис. 35.
[-'тяятг'-= с, :
Ч'Н*-
Lz
-nmss'
Рис. 36.
Дляпростого контура (рис. 19) мы придем, пользуясь законами Кирхгофа, к
прежнему уравнению:
di
и
¦Ri
Q _
0.
Я случае же зарядки прибавляется еще постоянная электродвижущая сила
батареи S:
(8)
Из уравнения (8) вытекает очень интересное и практически чрезвычайно
важное следствие. Его можно очень просто вывести из самого уравнения, не
прибегая к решению (часто решить уравнение бывает трудно, но можно
получить некоторые важные результаты из самого уравнения1).
dQ.
dt •
Умножим уравнение (8) на г-
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed