Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 48

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 160 >> Следующая

мы получаем для m характеристическое уравнение
/n2-b2(W-4-^=0
с корнями
/П1)2 = - у'р -0)2;
Может случиться, что ш0<;В. Тогда оба корня действительны. Они оба
положительны, если&<С0, и оба отрицательны, если S>0. Пусть имеет место
последний случай. Обозначим:
т1 = - Х1; т2 - -\.
Тогда
х = Ae~Xli -+- Ве~}- , (11)
где Xj >0, Х2^>0. Движение является апериодическим (неколебательным).
А и В - произвольные постоянные. Значения х = х(), х=хп при t = 0 можно
задать как угодно. При этом
х(| = А г В,
Хо - - X2,Z?.
Пусть начальные условия таковы, что А и В имеют один и тот же знак. Тогда
х не обращается в нуль ни при каком конечном t. В самом деле, х = 0
только если
А - ж-ъу.
В '
но это равенство не может выполняться, так как левая часть отрицательна,
а правая - положительна. Таким образом, х асимптотически стремится к
нулю, монотонно убывая.
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Если А и В имеют различные знаки, х может один раз обратиться в нуль при
конечном t.
Рассмотрим последний случай, когда
При этом решение (11) принимает вид
х - Ае-и. (12)
Если мы захотим приспособить такое решение к начальным условиям, то нам
нехватит одной постоянной интегрирования. Не трудно, однако, показать,
что в этом специальном случае, наряду с решением вида (12), имеется
решение вида te~и и общее решение таково:
х - Ае~и -+-
В нем опять имеются две независимые константы, и его можно приспособить к
любым начальным условиям.
Случай, когда ^ и почти равны друг другу, и случай, когда они в точности
равны, физически близки друг другу. Замечу, что этот случай важен в
теории измерительных приборов. Часто требуется, чтобы измерительный
прибор как можно быстрее приходил в положение равновесия. Оказывается,
это требование выполняется как раз тогда, когда характеристическое
уравнение имеет равные корни.
При §<[0 имеем:
л: Ае'"- -I Вет \
т. е. х представляет собой апериодически возрастающую величину. Если
система выведена из положения равновесия, то со временем х растет
беспредельно. Здесь - опять неустойчивое положение равновесия (а значит,
опять линейное дифференциальное уравнение не может полностью описать
процесс). Соответствующая ему особая точка называется неустойчивым узлом
(рис. 55, а). Может быть и устойчивый узел (/Л],, <С0, рис. 55,6).
Перейдем к поведению колебательных систем под действием внешних сил. Этот
вопрос - один из основных в теории колебаний. Мы ограничимся линейными
системами.
Мы рассматривали маятник, груз на пружине, балку, контур с емкостью и
индуктивностью. Как ведут себя такие системы под действием сил, заданных
как функция времени? Основное, заме-
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
153
чательное явление, которое при этом наблюдается, - это явление резонанса.
Мост можно рассматривать в первом приближении, как систему с одной
степенью свободы. Ритмическая (периодическая) сила возникает, например,
тогда, когда по нему в ногу идут войска.
Всякий кабель в первом приближении - цепь с емкостью и индуктивностью.
Периодическая сила возникает тогда, когда кабель питается от машины
переменного тока.
Во всех этих случаях, пока частота внешней силы р значительно меньше
собственной частоты системы ш0, колебания слабые. Пусть амплитуда внешней
силы остается постоянной, но меняется ее частота. Когда р становится
близка к ш0, начинается сильная раскачка.
Мы называем это явление резонансом. Если р значительно превышает i"0,
опять все успокаивается.
Пусть некоторая периодическая сила дает амплитуду смещения, скажем, 1 мм.
При неизменности амплитуды внешней силы
изменение ее частоты на 30% может увеличить амплитуду смещения, скажем,
до 1 м. Генератор электродвижущей силы в 1000 вольт может создать в
кабеле напряжение в 10000-20000 вольт. При резонансе колебания могут
иметь другой порядок величины, чем в отсутствие резонанса.
Резонанс может быть весьма опасным. Случалось, что вследствие резонанса
разрывались валы пароходов. В радиотехнике резонанс играет положительную
роль. Он применяется для того, чтобы приемник сильно реагировал на
определенную частоту, и дает колоссальное увеличение чувствительности для
данной частоты.
Резонанс играет большую роль и в оптике, в явлениях дисперсии и
абсорбции. Тот факт, что ртутный пар для некоторых (немногих) частот
непрозрачен, а для всех остальных прозрачен, объясняется резонансом.
154
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Известно большое значение резонанса в акустике. Благодаря резонансу
опытное ухо различает, что аккорд состоит из таких-то нот.
Явление резонанса связано со всей формой воздействия, оно охватывает
длительный промежуток времени. Нельзя говорить: резонанс наступил в
такой-то момент. Здесь существенное значение имеет понятие процесса, а не
понятие состояния в данный момент.
Уравнение
тх -+- лх -г- кх - 0 (13)
имеет такой смысл: масса, умноженная на ускорение, равна сумме упругой
силы и силы трения. Теперь к ним прибавляется внешняя сила-заданная
функция времени:
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed