Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
измененная волна отстает по фазе от падающей; если же частота света выше
резонансной, то получается наоборот - опережение по фазе.
Теперь физика отошла от этой модели: все факты говорят о том, что такая
простая модель неверна. Однако полученные
1 [Применение успокоителей, см. 26-ую и 27-ую лекции.]
168
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
с ее помощью соотношения в большой мере сохраняются и в новой теории.
Поэтому практически оптика часто продолжает работать с этой моделью.
Многие заключения сохраняются в полной силе.
Нам остается рассмотреть в связи с резонансом некоторые принципиальные
вопросы и некоторые задачи и вопросы, возникающие при практических
положительных применениях (в начале лекции говорилось об отрицательных
сторонах резонанса). В радиотелеграфии, в радиотелефонии резонанс-
инструмент, которым пользуются.
Мы рассматривали до сих пор установившийся режим. Рассмотрим теперь такую
задачу. Пусть на резонатор в момент t=О начинает действовать сила. Тогда
нужно решить уравнение с правой частью
х -+- 25л: -+- WqJC = Е sin pt (1)
при определенных начальных условиях (мы писали раньше в правой части Е
cos pt, а теперь пишем Е sin pt, но этим мы просто переставляем начало
отсчета времени). Нужно найти такое решение х, для которого
х = 0, х = 0 при ? = 0.
Это решение определенно однозначно.
Математика указывает, как найти такое решение. Нужно взять общее решение
уравнения (1)
х = Xsin {pt - <р) -+- Аё~'л cos алf ~t- Be~ot sin <s>t (2)
и подогнать в нем произвольные постоянные под начальные условия. Положим
в (2) ? = 0, х=0. Это дает уравнение
- Xsino-нЛ - О. (3)
Далее, продифференцируем (2) и положим ? = 0, х = 0. Это дает еще одно
уравнение. Из двух полученных таким образом линейных алгебраических
уравнений мы определим Л и В.
Проделаем это для частного случая.
С самого начала предположим, что декремент мал и имеет место резонанс, т.
е. р==ш0^ы (с точностью до §2). Тогда <р равно 90° и
v Е
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
169-
Уравнение (3) дает при этом А - Х, а из условия х(0) = 0 мы получаем в
этом случае, что В-малая величина порядка Ь/р. В первом приближении, если
пренебречь Ь/р по сравнению с единицей, т. е. положить В = 0, находим:
* = - 2Й^(1 -e_8Oc°s<"of- (4)
В начале, несмотря на совпадение частот р и о>л, колебание х очень мало.
Оно увеличивается - происходит нарастание амплитуды- по мере уменьшения
е~
Получается такая картина. При очень малых декрементах амплитуда
колоссальна, но ее установление длится очень долго. Явление резонанса
характерно для установившегося режима. Чем более резко выражен резонанс,
тем медленнее происходит установление. Можно это выразить так: резко
выраженный резонанс долго не наступает.
Если силу выключить, колебания затухают. Затухание колебаний тем
медленнее, чем меньше S. При малом S сила медленно раскачивает систему и
колебания долго длятся после того, как прекратилось действие силы. Во
избежание ошибок, нужно это постоянно иметь в виду. Укажем одну из
распространенных ошибок.
Для целей беспроволочной телеграфии требуется изменять нечто в колебаниях
передатчика, с тем чтобы амплитуда в приемнике изменялась как можно
сильнее. Обычно изменяют амплитуду колебаний в передатчике. Было сделано
предложение - изменять частоту передатчика. При малом затухании
резонансная кривая очень крута, и поэтому, говорили, достаточно
ничтожного изменения частоты, чтобы сильно изменить амплитуду.
Критика этого предложения заключается в следующем. Если изменение частоты
происходит очень медленно, то утверждение справедливо. Но если оно не
происходит очень медленно, то утверждение совсем несправедливо. Приемник
не попадает в точку А (рис. 61) сразу. Он придет в нее тем медленнее, чем
острее резонансная кривая. Условия передачи таковы, что быстрота
изменения задается - ею нельзя распоряжаться. При быстрых же изменениях
острота эффекта иллюзорна и цель не достигается.
Поставим теперь задачу о колебаниях незатухающего контура под действием
внешней силы. Этот случай проще. Рассмотрение незатухающего контура для
ряда вопросов имеет смысл.
170
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Пусть ^->0. Тогда в пределе формула (7) предыдущей лекции дает:
Е
Х~-
(5)
Если j ы2- р21 велико по отношению к S2, т. е. далеко от резонанса,
формула (5) приводит к удовлетворительным результатам.
Пусть теперь <о0 = р. Тогда по формуле (5) Х= со: если
при приближении к резонансу не учитывать затухания, амплитуда растет
неограниченно. Отсюда видно, что достаточно близко от
резонанса мы обязаны при рассмотрении установившегося колебания принимать
во внимание затухание, как бы оно ни было мало. Но как мы видели, чем
меньше Ь, тем медленнее устанавливается колебание. Когда S стремится к
нулю, Х-^-оэ,
но стационарный режим устанавливается через бесконечное время, т. е. не
устанавливается никогда. Поэтому формула (5) не приводит к физическому
противоречию.
Из формулы (2) мы не получим при мо ~Р установившегося (периодического)
