Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
долгое время. Поэтому, например, говорить о резонансе в первые мгновения
после включения внешней силы бессмысленно.
Вынужденное периодическое колебание имеет частоту р, равную частоте
действующей силы и, вообще говоря, отличную от со. Частота, с которой
колеблется осциллатор в установившемся
д- - X cos (pt - <р) ч- Ае r,i cos (u>f - ф),
(9)
где
о
158
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
режиме при вынужденных колебаниях, совершенно не зависит от его
собственной частоты.
Заметим теперь, что если смещение или заряд меняется по закону (5), то
скорость (или ток) будет
х = - рХ sin (pt-9). (10)
При собственных (незатухающих) колебаниях сумма кинетической и
потенциальной энергий остается постоянной. Остается ли эта сумма
постоянной также и при синусоидальных вынужденных колебаниях? Подставим в
выражение полной энергии
,у/ кх2 т'х2
W- -2-н-2-
выражения (5) и (10), полученные для х и х. Это дает
W= ^ X2 cos2 {pt - 9) -Ь ^ jEX1 sin2 {pt - 9).
Отсюда видно, что полная энергия непостоянна. Все время идет переход
энергии из источника в рассматриваемую систему и обратно. Полная энергия
постоянна только при
к 1 тр2.
Мы приходим обратным путем к уже известному результату: без внешней силы
осциллатор колеблется с частотой, равной \/к/т. Мы видим далее, что,
несмотря на синусоидальность колебания, не имеет места равенство средней
кинетической и средней потенциальной энергии. Если р2^>"о, то Т U; если р
' <С "о, то Т <iU-Равенство средних потенциальной и кинетической энергий
играет важную роль для собственных колебаний. Но то, к чему мы привыкли
для собственных колебаний, нельзя переносить на вынужденные.
При прочих равных условиях амплитуда вынужденных колебаний X
пропорциональна амплитуде действующей силы Е. Амплитуда и фаза сильно
зависят от того, в каком отношении находится период внешней силы к
периоду собственных колебаний.
Будем исследовать, при каком соотношении частоты внешней силы и
собственной частоты наступает резонанс (понимая под резонансом максимум
амплитуды вынужденных колебаний). Здесь возникают различные задачи,
ведущие к различным резонансам.
ПЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
159
1. Пусть w0 = const, изменяется р. Продифференцировав X по р, легко
найти, что максимум амплитуды смещения или заряда X будет при
р- y/oug - 2<Р.
Таким образом, "резонансная14 частота внешней силы не равна собственной
частоте ю0 и не равна "частоте44 затухающего осцил-латорного процесса со=
уЧи*- §2. Резонанс наступает не при изохронизме, а при р, несколько
меньшем, чем ю0.
2. Пусть попрежнему ш0 = const, изменяется р; но теперь мы будем
интересоваться максимумом амплитуды тока или скорости X• Нужно,
следовательно, искать максимум выражения
х== рХ= , рЕ
V("o - p2)2-|-4§V
Ясно, что максимум будет при
°*-р* = о,
т. е. здесь резонанс наступает тогда, когда период внешней силы равен
периоду незатухающего колебания.
Для максимальных значений амплитуды заряда и тока имеем:
^п.вх=2ЙГ0' ^mai='2;J 4 (12)
Итак, резонанс в смысле максимума амплитуды тока и резонанс в смысле
максимума амплитуды заряда возникают при различных значениях р. Насколько
велика разница между ними? X максимально при
Р1 = "о " 2S'2>
а X максимально при
Р1 =
Напишем для первого случая: или, поскольку
5 d
\М^)'
(11)
160
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
где d - логарифмический декремент,
d2
Пусть с/ = 1 /100. Тогда <//2тс = 1/600, а (1/600)2 - очень малая
величина. При очень тонких опытах можно констатировать отличие между
обоими значениями р. Но почти всегда им можно пренебречь и считать, что
оба резонанса наступают, когда р = ю (здесь можно не различать м0 и to -
\Л"д - Щ-
3. Когда наступает максимум X, если меняется со0? Это случай, который
имеет место в практике беспроволочной телеграфии, когда настраивают
приемник, меняя емкость конденсатора. Как легко видеть, здесь максимум
опять наступает при to0=р.
Можно сказать, что если затухание мало, резонанс наступает при
изохронизме. Этого приближения часто достаточно.
Мы выяснили, когда наступает максимум. Но насколько он резкий? Насколько
остра кривая резонанса? Для того, чтобы ответить на этот вопрос,
воспользуемся другим написанием формул (7) и (11),-тем написанием,
которым пользовался Релей. Из формулы (8) легко получить для sin 9
выражение
sin9 - __ t цз)
V("Dg-VJ*-b43y
На основании (13) можно написать для X и X очень простые выражения:
v Е sin 9
Л - ~2Ър
X-
2S
(14)
Допустим, что нас интересует зависимость от расстройки максимального
значения кинетической энергии, т. е. величины
Т=~Х2- (15)
Мы знаем, что Т=Ттлх при to0 = p, т. е. при sin(r) = l. Поэтому на
основании (14), (15) и (8) получаем:
ПЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
161
откуда
Т __________________ 1________________
ТУм / (о j - р2 \ 2
1 + 1_25Г/
Разделим числитель и знаменатель в скобке на %р и введем "степень
изохронизма11
P- = q.
<о0 v
Мы получим:
1 •
07(f)"
(17)
(18)
.7
Это - очень удобное и сравнительно простое выражение. Из него видно, что
