Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
решения. Его нельзя получить^и из периодического решения, полагая в нем р
- м0. Но какое-то решение должно существовать и в этом случае. Его можно
найти другим путем.
Общее решение уравнения
Рис. 61.
: Е sin <0ог
есть
: A cos o)0f -+- В sin w0jf - t cos °V-
(6)
Последний член (он является частным решением неоднородного уравнения)
неограниченно растет со временем. Происходит неограниченное накопление
энергии. Решение
: - 0- cos "V 2<о0 0
(7)
можно получить и из формулы (4) путем перехода к пределу 7>=0. Как уже
подчеркивалось, нельзя думать, что резонанс
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
171
наступает сразу. Если сила действует очень короткое время, то она не
может вызвать большого нарастания колебаний, даже если нет трения.
Рассмотрим один относящийся сюда оптический парадокс. Исследование
установившегося режима приводит к выводу, что показатель преломления п
больше или меньше единицы, смотря по тому, что больше - частота падающего
света или собственная частота молекулярных резонаторов. Показатель
преломления равен отношению скорости света в вакууме к скорости света в
теле. Пусть показатель преломления меньше единицы. Тогда скорость света в
теле больше, чем скорость света в вакууме с. Опыт показывает, что
действительно в некоторых случаях /г <С 1. Кое-кто думал вывести отсюда
возражение против теории относительности, так как одно из ее основных
утверждений состоит в том, что ни один сигнал не может распространяться
скорее, чем свет в пустоте.
В действительности никакого противоречия нет. Теория относительности
запрещает распространение сигнала со скоростью, большей с. Показатель
преломления относится к установившимся колебаниям. Когда распространяется
начало сигнала, электроны не успели еще придти в колебание. Сигнал
вначале распространяется так, как будто бы молекул нет. Сигнал равносилен
неуста-новившемуся режиму, и из того, что л<^1, еще нельзя ничего
заключить о скорости распространения сигнала.
Поставим теперь несколько более общую задачу. Нас часто интересуют
периодические или почти-периодические силы /(?)• Их можно представить в
виде суммы синусоид с различными периодами (математика нас учит, как это
следует делать). Если мы это сделаем, то получим уравнение вида
х -+- 2§х ь ш*х = 2 cos (Pi* 40- (8)
i
Мы знаем, что, найдя решение для случая, когда в правой части стоит один
член суммы, мы сможем написать решение (8) как сумму отдельных таких
решений.
Возьмем специальный случай. Пусть самая малая (по абсолютной величине)
разность между частотами р,- есть
Pi Р% - ^Р-
Пусть логарифмический декремент резонатора чрезвычайно мал по сравнению с
\\р\/р(. Настроим резонатор на рх. Тогда
все члены с частотами, отличными от ри будут малы по сравнению с членом
частоты рг.
Если резонатор с достаточно малым затуханием настроен на частоту одной из
синусообразных слагаемых силы, то остальные слагаемые практически
совершенно незаметны. Такой резонатор выделяет определенный
синусообразный член внешней силы, а именно тот, на который он настроен.
Резонатор, это - реактив на синусообразные колебания. Он откликается
именно на синусообразные колебания, а не вообще на периодические. Если
действует периодическая сила периода, равного собственному периоду
резонатора, но в которой "случайно11 нет синуса (или косинуса) нужной
частоты, - резонанса не будет.
Например, как будет вести себя резонатор, настроенный на частоту р, в
случае силы
/i (t) = а2 sin Ipt ч- а3 sin 3pt (р = ы0) и в случае силы
/2 00 = ai sin pt
(обе силы имеют одинаковый период)? Во втором случае он откликнется
сильно; в первом случае он откликнется очень слабо. Для резонанса важен
не период действующей силы, а наличие в разложении правой части на сумму
синусов (или косинусов) члена с синусом (или косинусом) определенной
частоты.
Вообразите, что вы раскачиваете маятник. Вы даете ему толчок. Он немного
отклоняется и возвращается обратно. Если вы будете снова его толкать в
"нужные" моменты (через период), то действие толчков будет накопляться, -
будет резонанс. Если вы будете толкать маятник через каждые два периода,
то тоже будет резонанс, - маятник будет опять сильно раскачиваться.
Этот результат противоречит представлению о том, что для резонанса
необходимо совпадение периода внешней силы с собственным периодом. Но он
находится в согласии с тем, что было только что сказано.
Если разложить кривую (рис. 62) в ряд синусов, то при периоде толчков,
равном удвоенному собственному периоду, этот ряд содержит синус
собственного периода. Благодаря этому наступает резонанс.
Неправильно думать, что условием резонанса является совпадение периодов.
Единственный критерий резонанса дает разложе-
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
173
ние на синусоиды. Этим и объясняется та важная роль, которую играет в
физике ряд Фурье.
Любую функцию, в частности периодическую, можно представить как сумму
других функций и притом самым разнообразным образом. Возможно разложение
не только по синусам и косинусам, но и по другим функциям. Какое
