Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
произвольным заданным начальным условиям:
х(0) = х0, х(0) - х0.
Пусть ^i(0 и x2(t)-линейно независимые частные решения уравнения (4).
Общее решение может быть представлено в виде их линейной комбинации:
X CjXj I С^Х2,
1 [См. 19-ую лекцию.]
184
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
где С1 и С2- произвольные постоянные. Необходимым и достаточным условием
линейной независимости функций x1(t), x2(t) является неравенство нулю
детерминанта Вронского:
W=
ЛГт Хо
Хл X*
Любые два линейно независимые решения уравнения (4) образуют так
называемую фундаментальную систему решений.
Рассмотрим частные решения <р (t) и ф (t) уравнения (4), удовлетворяющие
следующим начальным условиям:
?(0) = 1, ф(0)=0, 9 (0) = 0, ф(0) = 1.
(5)
Согласно известной теореме теории линейных дифференциальных уравнений
- ) Pi Й <?
W(t)=W(0)e 6
В данном случае
W( 0) =
?(0) ф(0) 1 0
6(0) ф(0) 0 1
= 1,
(6)
(7)
и, следовательно,
W{ty.
- Jpi(S)rf5
?=0.
Таким образом, решения "риф образуют фундаментальную систему.
Докажем теперь, что существует такое решение х1 (t) уравнения (4),
которое через период воспроизводит себя с точностью до постоянного
множителя, т. е. такое, что
•К] (?-Ьт) = 5Х! (#), где s - постоянная. Из (8) следует, что
хг (t ч- пт) = snx1 (t).
(8)
Заметим, что если "р (?) и ф (?) - решения уравнения (4), то в силу
периодичности коэффициентов этого уравнения <р(^ч-т) и ф(Л-т)
восемнадцатая лекция
185
(9)
(10)
(И)
тоже являются решениями. Как и всякое решение, они могут быть выражены
линейно через фундаментальную систему <р (?), ^ (т):
<р (? -ч- т) = а<р (i) -+- b<\i (t), ф (t -+- т) = cf (t) -+- d\ (t)
(a, b, c, d-постоянные), откуда
<p (t -+- T) = a<p (t) -+- йф (0, ф (t -4-т) = С<р (?)-+-fify (f).
Положив в (9) и (10) (=0 и приняв во внимание (5), получаем:
а = <р(т), Ь- <р(т), с = ф(т), d= ф (тг).
Возьмем теперь решение
x(t) = A<?(t) + B^(t), (12)
где А, В - постоянные. Можно ли их подобрать таким образом, чтобы
выполнялось соотношение (8)?
Подставляя (12) в (8), получаем:
А<р (t -+- т) н- В<\> (i + x) = s [Л 9 (t) -+- В<\> (?)], откуда,
принимая во внимание (9),
[А (а - s) -+- Вс\ <р -+-\Ab -i~B(d- s)] ф = 0.
Это равенство должно выполняться тождественно (при любом ?). Так как (c)(f)
и ф (i) линейно независимы, отсюда следует, что
А (а - s) -+- Вс = 0, )
Ab-*-B(d-s) = to.\ (13)
Это - система линейных и однородных относительно А и В уравнений. Она
имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда
а - s с а с
Ъ d- s = s2 - (а -+- d) 5 -+- Ь d
= 0.
(14)
Пусть Sj и s2 - корни уравнения (14). Подставляя их значения в (13), мы
находим из этих уравнений соответствующие значения отношения А/В:
186
ЛЕКЦИИ по колебаниям, часть первая
При таких значениях отношения AIB решение (12) удовлетворяет условию (8),
т. е. воспроизводит себя через период с точностью до множителя или s2.
Если и s2 не равны между собой, существует два линейно независимые
решения, обладающие свойством (8). Обозначим их через x1(f) и x2(t):
*1 ("+Т) = 5Л (t),
*2 it Т) = S2^2 it)-
Решения хг{{) и x2it) также образуют фундаментальную систему. Введем
посредством соотношений
s1 = eA'T, s2 = eXl'c
новые постоянные и Они называются характеристическими показателями. Так
как и s2, вообще говоря, комплексны, то х1г х2, а также а1 и \2, вообще
говоря, тоже комплексны.
Разложим s, 1 и х на действительные и мнимые части:
s = а-+- ib; x - ^-t- vn.
Имеем:
s = e*V^', x(f-t-T) = e*V^j:(f).
Умножение на e"x означает увеличение модуля х в еях раз; умножение на
е'Рт означает поворот вектора на комплексной плоскости на угол (Зт (рис.
67). Вектор x(t) за время т поворачивается на некоторый угол, и если а>0-
удлиняется, а если се <С0-укорачивается. Если а=0, вектор за время т
поворачивается, но длина его принимает исходное значение.
Но at = In | s I/'T, а следовательно:
при а>0 |s|>l,
при а<С0 М<1, при а = 0 |s| = l.
Ha плоскости а, b (рис. 68, а) области внутри окружности |s| = l
соответствуют убывающие со временем решения, области вне этой окружности
- возрастающие со временем решения, самой окружности - периодические
решения. Соответствующие области
восемнадцатая лекция
187
на плоскости a, (рис. 63,6}: полуплоскость левее оси а = 0, полуплоскость
правее этой оси, сама ось а-0.
Вспомним теперь, что s является корнем квадратного уравнения (14).
Обозначим в нем:
а Ъ
(15)
¦d, q =
с
Решения <р и ф действительны, так как коэффициенты уравнения (4), а также
начальные значения (5) действительны. Поэтому а, Ь, с, d, а
следовательно, и р, q - действительные постоянные. Необходимое и
достаточное условие того, чтобы .оба корня Sj и s2 уравнения (14)
s2 - ps -+- q - 0
'были по модулю меньше единицы (! "j | <С 1, I s21 ^ 1)> таково: 9<1, 1-
+-р-4-7>0, 1-
Корни и s2 действительны, если
р2-4?>0,
л комплексны, если
р2 - 4q<i 0.
Таким образом, на плоскости р, q (рис. 69) случаю IsjKI, js2|<Cl
соответствует область внутри треугольника (-2,1), (2,1), (-1,0),
