Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 59

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 160 >> Следующая

заключенного между прямыми 9 = 1, 1ч-р-Ь9 = 0,
1 -р-1- 9 = 0.
В этом случае все решения уравнения (4) затухают к состоянию равновесия
лг = 0, * = 0. В случае, когда хотя бы один из модулей | | или |s2|
больше единицы, существует нарастающее
решение - состояние равновесия неустойчиво. Значениям р и q, лежащим
внутри параболы
4 9 = р2
(заштрихованная область), соответствуют комплексные корни, значениям р и
q вне заштрихованной области - два действительных .корня. Точкам параболы
соответствует кратный корень.
Если выполнено условие (8), т. е. если
лг (f -+- т) = sx (?) = еХ 'л: (i),
188
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
то функция
Ф (t) = х (t) е~Х'
есть периодическая функция с периодом т. Это легко показать: Ф {t -н т) =
е~X(i+T,x (t-1- т) = е~' ~е~' 'х (/ + т) = е~' 'х (t) = Ф (i).
Следовательно, решения x1(t) и x2(t) имеют вид:
1(t) = e^<l\ (t), х 2(0 = е^Ф2(#), /
'Щшу ч=1

-з -г -/ч /1 г з ^

1-р + Ц = о /
Рис. 69.
где Ф^) и Ф2(0 - периодические функции с периодом(r) т. Если Si=t^s2, то
общее решение уравнения (4) будет
х = С1ех'гФ1 (t) + СФ2 (t).
(16)-
Можно показать, что в случае кратного корня (s1 = s2) уравне~ ние (4)
имеет частное решение вида
1е1Ф (#),
и, следовательно, общее решение в этом случае имеет вид
л = С^Ф (f) С2/еХгФ (t). (17)
ДЕВЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
189
ДЕВЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(8/1 1931 г.)
Примеры систем с периодически меняющимся параметром. Параметрический
резонансу его отличие от "обычного" резонанса. Физическое объяснение
простейшего случая параметрического резонанса. Частотная модуляция.
Ошибочное мнение о возможности сузить интервал частот, нужный для
радиопередачи, посредством перехода к частотной модуляции.
Асимптотическое решение для медленного изменения частоты и его разложение
на синусоидальные составляющие. Как правильно записать "синусоидальное
колебание с переменной частотой**. Когда имеет смысл говорить о
"синусоидальном колебании с переменной частотой**.
Мы будем говорить о вещах, которые приобретают все большее значение.
Можно сказать, пожалуй, что их "просмотрели". Отчасти на них навела
практика.
Что будет с колеблющейся системой, если ее параметры изменяются со
временем и притом периодически? Представим себе, например, маятник с
периодически меняющейся длиной или колебательный контур с периодически
меняющейся емкостью. Другие параметры (индуктивность, коэффициент трения)
также могут меняться периодически. В случае одной степени свободы
уравнение имеет вид
x-+-pi(#)x-+-p2(#)jc = 0, (1)
где Pi(t) и p2(t) - периодические функции. Вопрос о том, как ведет себя
интересующая нас система, сводится к исследованию, к интегрированию
уравнения (1). Математическую теорию такого уравнения изложил в
прошлой лекции А. А. Андронов. Теперь мы
будем говорить главным образом о физике и лишь бегло повторим
математику.
Пусть у нас имеется конденсатор, емкость которого периодически меняется.
Для простоты мы предположим, что периодическое изменение происходит по
закону синуса или косинуса. Уравнение
L q -+- qc = 0 (2)
справедливо и при переменной емкости C{t).
Будем менять периодически расстояние между пластинами плоского
конденсатора. Тогда
190
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Пусть расстояние d меняется синусоидально:
§ cos pt, (4)
где р - частота изменения. Если подставить (3) и (4) в (2), то получится
уравнение
"*-ETtScospt)q = 0, (5)
где
Л
Возьмем простой механический случай - прототип более сложных вещей. Масса
М подвешена к упругому стержню (рис. 70).
Она может колебаться в вертикаль-ном направлении. Здесь уравнение ]
движения будет
м Мх + кх = 0, (6)
рис 70 где к зависит от длины и материала
стержня и от его сечения.
Если стержень (пусть это будет вал какой-нибудь машины) имеет
эллиптическое сечение, то
? = ?0(l-bScos2e), (7)
где 6-угол поворота вала; § - постоянная. При подстановке (7) уравнение
(6) принимает вид
х н- (1 -ь 8 cos 26) х = 0. (8)
Пусть вал вращается с постоянной угловой скоростью р/2. Тогда
6r= IL 2 '
и (8) принимает вид
^|-(l-i-&cos/rf)* = 0. (9)
Получается такое же уравнение, что и для только что рассмотренного
контура с конденсатором переменной емкости.
ДЕВЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
191
В уравнениях (5) и (9) величины
¦"2 -
м
11LC",
играют роль квадрата частоты.
Обозначив
? 4тг8 " &08
Л0 = ~LSe И <=-М '
мы можем привести уравнения (5) и (9) к виду
Х Н" ("о а0 COS pt) X = Q- (10)
Это-частный случай уравнения (1); здесь, во-первых, p1(f) = 0 и, во-
вторых, функция p2(t) синусоидальна.
Уравнение
х -+- р (t) х - 0,
где р{?) - периодическая функция, называется уравнением Хилла. Наше
уравнение (10) есть частный случай уравнения Хилла. Оно называется
уравнением Матьё.
Мы знаем, что общее решение уравнения (1) имеет вид
* = С1ек'*Ф1 (t) -+- С2е^Ф2 (t),
где Сг и С2- произвольные постоянные; \ и ~к2- постоянные, определяемые
самим уравнением; Фх (t) и Ф2 (f) - периодические функции периода т =
2~/р.
Особенно важно знать, каковы ^ и ^2- Вообще говоря, они комплексны:
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed