Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
2 [См. 11-ую и 12-ую лекции.]
ДЕВЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
197
то мы получим с достаточным приближением решение той же задачи для
переменного А. В этом случае можно говорить об A (t) cos (о t-\- <р), как
о косинусообразном колебании с переменной амплитудой. Аналогично можно
определить колебание с переменной частотой.
Но как записать косинусообразное колебание с переменной частотой?
Вернемся к нашей формуле (11). Мы склонны сказать, что медленно
меняющейся частотой является величина
w== \/<0он" r4cosPL (14)
Это требует разъяснения. Если мы подставим (14) в формулу (13), подобно
тому, как вместо постоянного А в нее можно подставить А (t), мы получим:
х = А соБ^у/ыц -+- a'l cos pt - t -+- <р)#
Получится совсем не то, что мы хотели сказать, говоря об w, как о
переменной частоте. Записывать таким способом колебание с переменной
частотой неверно.
Что такое период? Если функция имеет период т, это значит, что она имеет
одно и то же значение при t-tx и при t -
Если "период т медленно меняется" и частота
- а> - (1>0 I ip (?) = f(t), (15)
то косинус с периодом т следует записать так:
cos F{t), (16)
где
t
F' (t) = / (t), F(t) = \f(t)dt.
0
Это можно пояснить такой аналогией. При равномерном движении
x = vt. (17)
Переходя к медленно меняющейся скорости
" = t>0 + a t, (18)
нужно написать
dx
198
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
и интегрировать, а не подставлять ^(1.8) в готовую формулу (17).
Покажем, что при записи (16) мы получаем именно то, что хотели. При t,
близком к tlt мы имеем приближенно:
или
cos F{t) = cos [F^) F' (О (t - fj)],
COS F(t) = COS \F' (#j) t -t- const] = cos [f (fx) t -+- const],
т. e. при t, близком к значение функции действительно повторяется через
промежутки времени т, определяемые формулой (15). Значит, если мы хотим,
чтобы период равнялся 2n/f(t), то мы должны записать колебание в виде
A cos ^ [ /(#) dt -+- const^.
Нахождение асимптотического выражения дало для частоты значение (14).
Для того, чтобы ответить на вопрос о том, дает ли частотная модуляция
выигрыш в ширине полосы, нужно разложить (12) в ряд Фурье. При этом
оказывается, что никакого выигрыша нет. Пусть
"К "5.
Тогда приближенно
agcos /?* = <о0 (^-*--^2 cos Р1 )> и формула (12) принимает вид
ао
С' cos ^"У -I- 2^ sin pt ^ (19)
(если выбрать начало отсчета времени так, что 6 = 0).
Мы можем представить (19) в таком виде:
( "о \ ( < .
х = С' cos <jV cos I s*n ^ ) - С" sin (r)0t sin I ^^sin pt
Если
ao
ДЕВЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
199
то приближенно имеем:
( "о \ ( ао \ ао
cos\2^sin^; = 1' sin\2^sin^j = 2^sin^'
/ ао ао \
Х = С [cos<"0t4-^cos(<"04-p)t - ^cos(")0 - . (20)
Мы получаем и здесь несущую частоту <о0 и боковые полосы "в0=Ь/>.
Никакого сужения полосы при частотной модуляции не получается, но здесь
есть много интересных особенностей по сравнению с амплитудной
модуляциейх.
Вернемся к вопросу о "синусоидальном колебании с переменной амплитудой и
частотой".
Сложение двух синусоидальных колебаний дает:
. л (Л) 03-| 0> (л)т / _ . ,
cos <"t -+- cos <Ojf = 2 cos-g t cos t. (21)
Если разность частот <" и i"j достаточно мала, то можно сказать: здесь
получается одно колебание с периодически меняющейся амплитудой.
Аналогичным образом, согласно формуле (20), можно сказать: сложение трех
колебаний различной частоты может дать •одно колебание с периодически
изменяющейся частотой. Это тригонометрия, это математически правильно. Но
при каких условиях имеет смысл говорить об одном колебании с переменной
амплитудой или частотой? Часто говорят: это имеет смысл тогда, когда ¦<"
- uij или р мало по отношению к <о. Но это неверно, не в этом соль. Нужно
знать, для чего требуется говорить об одном колебании с переменной
амплитудой или частотой, что вы хотите делать с этим колебанием.
Предположим, что нам нужно решить задачу о приеме колебания с помощью
резонатора. Для того, чтобы можно было при .этом обращаться с (12) или
(21), как с обычным синусоидальным колебанием, а потом подставить в
результат переменную амплитуду или частоту, нужно, чтобы данный приемник
примерно одинаково воспроизводил все- синусоидальные слагаемые. Так ли
обстоит дело или нет,-это зависит от логарифмического декремента
приемника. Как бы ни было мало |ш-o^l или р по отношению к <о0, если
логарифмический декремент приемника доста-
1 [Ср. том III, стр. 410.]
200
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
точно мал, то он пропустит отдельные синусоидальные слагаемые по-разному.
Он их пропустит приблизительно одинаково--и тогда целесообразно говорить
о косинусе с переменной амплитудой или частотой, - когда
j (о - щ\ d р . d
------ : <к " или ' < ;- .
со ^ 2ъ oj ^ 2ъ
Критерием того, когда имеет смысл говорить о функции, как о косинусе с
переменной амплитудой, а когда нет, лежит вне самой функции, из самой
функции это вычитать нельзя.
При переменной частоте картина боковых полос несколько
сложнее, чем при переменной амплитуде, кроме того простого частного
случая, для которого можно пользоваться приближенной, формулой (20).
