Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
-Т/2 -Т/2
Переходя к пределу, получаем:
lim а'(и) - gAu), lim b'(u) - g2(u),
Г->СО 2'-* со
лричем
+СО -1-00
8i(u)=-j= J /(c) cos u?o?;, g2(u) = -±= j /(c)sinu&(c) (7)
-CD -00
Таким образом, у нас есть основания ожидать, что функция f(i) может быть
записана , в виде интеграла
+00
/(0 = l/~ j (i?i (^) cos ut -f- g2 (ц) sin ut} du, (8)
^ , 0
Это - интеграл Фурье. Мы не доказали, что всякая функция, удовлетворяющая
определенным условиям, может быть разложена в интеграл Фурье, но можно
доказать, что всякая функция f(t), определенная в бесконечном промежутке,
удовлетворяющая в каждом конечном участке условиям Дирихле и такая, что
интеграл
204
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
от ее абсолютного значения существует, может быть разложена в интеграл
Фурье.
Обычно выполняют подстановку (7) в (8). При этом получается формула
+СО +00
/(#)== 4- ]' du f /(5) cos "(*-?)<? (9)
О -со
- другое написание знаменитой теоремы Фурье или, как ее часто называют,
формулы Фурье.
Если функция f(t) разрывна, то интеграл Фурье имеет в точках разрыва
значение
y[/(f-*-0)-b/(f-0)].
Как уже было сказано, в обычных колебательных вопросах можно обойтись без
интеграла Фурье, так как в них продолжение интервала разложения в
бесконечность не играет фундаментальной роли. Но в волновой механике
продолжение интервала разложения в бесконечность и применение интеграла
Фурье играет весьма существенную роль. Для ряда принципиальных вопросов
интеграл Фурье представляет фундаментальный интерес.
Укажем теперь некоторые свойства функций, которые можно вычитать из их
представления с помощью интеграла Фурье. Некоторые представления,
играющие чрезвычайно важную роль в современной физике, основываются на
одном, редко формулируемом, свойстве интеграла Фурье. Для того, чтобы
показать, о чем идет речь, возьмем простейший пример. Заметим, что для
двух классов функций - для функций четных и для функций нечетных - общая
формула (8) значительно упрощается.
Пусть
/(<) = /(-#)
четная функция). Тогда
00
Si (") = l/v 1 /(c) cos S2 (и) = 0.
^ 0
Пусть
ДВАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
205
(нечетная функция). Здесь
00
gi (ц) = 0, g2 (и) = j/~ j /(?) sin иШ.
О
Представим теперь в виде интеграла Фурье функцию, заданную уравнениями
(рис. 75):
т=
О при t <С-Т/2,
sin при -T/2^.t^. 772,
О при t > Т/2,
(10)
Рис. 75.
причем промежуток Т содержит целое число 2N полных колебаний: Т - 2А/т =
2N (N- целое).
Функция f(t) - нечетная. Поэтому
где
00
fW - l/ir J ?(")sin utdu,
О
S (") = |/|" J /(?) sin u\d\-
(H)
(12)
Отсюда, между прочим, видно, для чего мы ввели множители \Лт/2 в
выражения (4). При таком выборе коэффициентов в (11) и (12) получается
полная взаимность функций fug.
Подставим (10) в (12):
206
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ИЛИ
/ \ " / 2 sin (и
*(") = )/* -Епг
т
(О2
(13)
Каков физический смысл величины g(u)? Функция (10) есть конгломерат
синусоидальных колебаний с непрерывно меняющейся
от колебания к 'колебанию
плитудой ]/ 'i Z{u)du. Ве-
личина
есть плот-
максимум конечен, так как при Раскрывая в (13) неопределенность
максимальной плотности амплитуд значение
ность амплитуд в спектральной области (и, и -+-du).
Займемся исследованием функции g(u). Легко видеть, что самый большой ее
максимум находится там, где ц=ы. Несмотря на равенство нулю знаменателя,
этот и - ь> имеем sin (ц 772) = 0. при и -w, получаем для
Я("):
у
2 7V-7Г 2о)
(14)
Будем откладывать по оси абсцисс и, а по оси ординат - квадрат плотности
амплитуд (рис. 76). Найдем плотность амплитуд ^(lij) в том максимуме,
который соответствует расстройке:
"1-
: а.
Считая (приближенно), что в максимуме sin(и772)-1" получаем
'1 1
или приближенно
Следовательно,
8
У
7Г ("j -------(О) (щ -Н (О)
1
2й>
т
2тта
г (")
?("l)
Чем больше N, тем больше при заданном а это отношение.
ДВАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
207
Итак, мы задались конечным отрезком синусоиды. Мы разложили его в
интеграл Фурье, и мы толкуем этот результат как разложение на
всевозможные монохроматические колебания. Коль скоро отрезок синусоиды
конечен, он не монохроматичен. Он состоит из бесконечного числа -
континуума - монохроматических колебаний. В этом конгломерате особенно
сильно представлены определенные монохроматические колебания,-те, период
которых очень близок к периоду того монохроматического колебания, частью
которого является наш отрезок синусоиды. Они играют тем более
доминирующую роль, чем он длиннее. Иначе говоря, чем длиннее отрезок
синусоиды, тем он более монохроматичен. При малом N монохроматичность
пропадает: колебания, сильно различающиеся по частоте, представлены
примерно одинаково сильно.
Назовем величину, характеризующую протяженность отрезка синусоиды во
времени, его расплывчатостью. Тогда можно сказать, что если отрезок
расплывчат, то он может быть очень монохроматичен, но концентрированность
сигнала во времени (малая расплывчатость) и его монохроматичность -
противоречивые свойства. Всегда монохроматичность достигается в ущерб
