Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
малы, так что можно пренебречь релятивистским эффектом изменения массы со
скоростью. В таком случае можно написать для электрона уравнение движения
еЕ,
ГПХ-
¦ хх -
Рис. S3.
(10)
где Е-напряженность электрического поля, а - хх-некоторая сила,
аналогичная трению. Разные теории объясняют эту силу по-разному, но мы не
будем входить в объяснение этой силы, а заметим лишь, как связано а с
макроскопическими величинами. Макроскопический ток связан с полем законом
Ома
Е
1~~ ? '
где р чаем:
сопротивление линейного проводника. Пользуясь (9), полу-
(11)
Пусть течет постоянный ток. Тогда из (10) имеем:
Е
Л/ер
<хх = еЕ.
(12)
220
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
На основании (11) и (12) получаем:
<х = Ne~?.
(13>
Для вычисления среднего поля Е поступают следующим образом. Применим к
контуру (рис. 84) уравнения Максвелла. Мы исходим из уравнения Максвелла
Eds = -
d4>
dt
¦ - L
di
dt
(14).
Интеграл в левой части мы разбиваем на два:
^ Eads- j Esds -н j" E.ds.
0 da acb
Если ток квазистационарный, то первый интеграл справа равен sE, где s -
длина провода. По определению второй интеграл справа есть разность
потенциалов Q/С между обкладками конденсатора. Итак,
Рис.
Q
с •
Esds = sE -
Комбинируя соотношения (14) и (15), получаем:
Е=
1(е -
S dt
(15)
(16).
Однако в этом выводе допущена грубейшая принципиальная ошибка. Что такое
разность потенциалов в электростатике? Это.
{ Et.ds.
Определение имеет смысл только тогда, когда интеграл не зависит от пути
между точками А и В, т. е., что равносильно, когда
#
E.ds = 0.
(17 >
В нашем случае условие (17) заведомо не выполняется, так как имеет место
соотношение (14), причем
ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
221
Таким образом, в нашем случае понятие разности потенциалов не имеет
смысла.
Какой же смысл имеет наш вывод уравнения (16)? Хотя интеграл! Esds
зависит от пути, мы можем принять, что внутри конденсатора (мы говорим
специально о таком пути, который проходит внутри конденсатора) поле
примерно такое же, какое было бы в электростатическом случае, если
конденсатор имеет заряд Q. Только с этой оговоркой можно здесь говорить с
достаточным приближением о разности потенциалов, несмотря на то, что в
подобного рода явлениях понятие разности потенциалов в принципе
неправильно.
Из уравнений (10), (13) и (16) следует:
Если можно считать т бесконечно малым, то отсюда сразу получается обычное
уравнение (8). Однако, как мы видим, уравнение (8) не вполне отвечает
тому, что происходит в цепи. В полном
уравнении (18) есть еще один член с , которым обычно пренебрегают. Это
возможно именно потому, что взаимная масса электронов намного превышает
сумму масс отдельно взятых электронов.
Мы хотим теперь написать уравнение в неинерциальной системе отсчета. Нас
интересует только тангенциальная составляющая движения электронов. Нужно
добавить в уравнение движения (18) тангенциальную силу инерции (-/гг?),
где \ - путь, пройденный точками колебательного контура, ах - путь,
пройденный электронами в системе координат, жестко связанной с контуром.
Сила трения зависит от относительной скорости х. Выражая х через г ¦с
помощью соотношения (9) и учитывая, что ps = R есть полное сопротивление,
получаем вместо (18) уравнение
Как сказано, поправка sm/Ne2 очень мала по сравнению с L, и мы можем
написать приближенно:
(18)
, di г,. О sm >
~dt4~ 'C:== ё~ ^'
(19)
222
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Таким образом, в ускоренно движущемся контуре явления происходят так, как
будто контур остается в покое, но зато действует электровозбудительная
сила
(20)
Величина т/е очень мала:
П1 1 /•: у~. п
е 1,8 • 107
Какова может быть амплитуда электровозбудительной силы (20)
при колебательном движении катушки? Здесь главное--частота.
Пусть частота равна 200 колебаний в секунду, амплитуда--0,5 см
и пусть s=100 м = 104 см (большая катушка). Тогда амплитуда
электровозбудительной силы будет
^ 104 • 0,5 • 4^ • 4 • 10* _ 1Л_4
<э= ^ g - 1Q7-С Com яь Ю 1 вольта.
Это вполне измеримая величина.
Опыт такого рода был сделан Толмэном и Стюартом1. Он был сделан не совсем
так, как здесь говорилось. У них не было конденсатора (С= со) и L-jбыло
мало по сравнению с Ri. Таким образом, к этому опыту было приближенно
применимо уравнение
Ri= - -l
е
Толмэн и Стюарт раскручивали катушку и внезапно ее останавливали. При
этом наблюдалось появление кратковременного тока. Из опыта можно было
найти отношение е/т.
Можно было бы, заморозив контур, уменьшить R и благодаря этому увеличить
эффект. При очень низких температурах главную
роль будет играть член L , но с помощью емкости можно для
определенной частоты скомпенсировать индуктивный член и таким путем,
пользуясь резонансом, получить довольно большие токи.
Я не вдаюсь в подробности, связанные с такими опытами. Для меня важно
было изложить лишь относящиеся к этому кругу вопросов принципиальные
соображения.
Быть может, есть случаи (при разрядах в вакууме), когда добавочная
