Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
показывает, что основная частота есть
где I-длина; f - плотность; Т - натяжение. На формуле (9) основан один из
способов создавать эталоны частоты колебаний, что, вообще говоря, не
очень легко. Эталоном может служить монохорд.
Измерив частоту акустических волн в трубе с помощью монохорда, можно
определить скорость звука. Однако мы наталкиваемся на целый ряд
трудностей.
Прежде всего предположение о том, что все частицы каждого сечения трубы х
= const имеют одну и ту же скорость, не оправдывается вследствие трения.
Но при широкой трубе, как показал Гельмгольц, соответствующей поправкой
можно пренебречь.
Далее возникает вопрос: как осуществить те или иные граничные условия.
Твердую стенку очень легко сделать. Но очень нелегко сделать ее
неподвижной, такой, чтобы можно было применять граничное условие у = 0.
Граничное условие ду/дх = 0 здесь означает, что давление на конце трубы
должно оставаться постоянным. Опыт показывает, что это требование
выполнить трудно. Приходится делать ряд поправок. С поправками теория
вполне удовлетворительна, но часто можно пользоваться уравнениями и без
поправок.
Электрический случай существенно отличен от механического. В механическом
случае весь процесс концентрируется в материале стержня, струны и т. д. В
электрическом случае в процессе принимает участие окружающая среда, о чем
мы уже говорили.
Бесконечные параллельные провода цилиндрического сечения поддаются вполне
строгой обработке. Мы знаем, что здесь
е и а характеризуют свойства внешнего пространства.
Если взять два конечных провода, расстояние между которыми мало по
сравнению с длиной проводов, то теория, развитая для бесконечных
проводов, остается приближенно применимой. Но пусть имеется один
вертикальный провод (идеальный проводник) над землей (рис. 165). В случае
плоской бесконечной проводящей земли эта задача эквивалентна задаче об
одном проводе
(9)
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
405
удвоенной длины. Такому проводу приписываются некоторые С и L - емкость и
индуктивность на единицу длины. Как это оправдать? (В этом вопросе нет
никакого педантизма. Я не.стараюсь нарочно искать какие-то трудности.)
Возьмем кабель, т. е. два концентрических цилиндра (рис. 166), и будем
увеличивать радиус внешнего цилиндра Ь. При этом С и L будут изменяться,
но произведение CL остается постоянным. Если бы провод был бесконечно
длинным, то мы получили бы в пределе L=oo, С- 0. Если провод конечный, то
в пределе этого не будет. Обычно считают, что волновое уравнение остается
I I I
1ШШЯ
Рис. 165. Рис. 166.
правильным и в этом случае. Говорят: есть все основания думать, что это
уравнение применимо и для одного провода.
Я бы этого не сказал. Совесть беспроволочника не'*'может на этом
успокоиться.
Применяя здесь волновое уравнение, мы найдем формы колебания и т. д., но
ведь этого недостаточно. Нужно знать еще, как ведет себя антенна при
различных граничных условиях. Большое разнообразие задач возникает именно
тогда, когда мы включаем в провод катушки, емкости и т. д. При решении
таких задач приходится вводить отношение С/С0 (С0--емкость на конце
провода). В то время как в само волновое уравнение L и С порознь не
входят (а входит только произведение LC, которое не зависит от данной
системы), для решения краевых задач нужно знать L и С в отдельности.
Для емкости и индуктивности на единицу длины кабеля мы имеем выражения:
406
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Из произведения LC выражение ln^- выпадает. Но если 6 -> х>,
то какие здесь следует брать емкость и индуктивность? У нас пока нет ни
малейших указаний на то, как здесь поступить.
Что же здесь делать?
Дается следующий способ: вместо а нужно в первом приближении подставить
выражение уI, где I-длина провода, а у - поправочный коэффициент. Это
угадано довольно давно. Постараемся понять, чем здесь руководствовались.
В выражения для емкости и индуктивности входит логарифм.
Величина 1п.^, вследствие нечувствительности логарифма, не
ведет к большим недоразумениям даже при у = 1, хотя формула с у = 1 и
неправильна. Таким образом, можно было подобными грубыми подстановками
добиться довольно правильных результатов.
Первый и решительный шаг в направлении строгого решения задачи сделал
Абрагам. Он поставил вопрос так: дан вытянутый эллипсоид из идеального
проводника; требуется рассмотреть поле на основе уравнений Максвелла.
Оказалось, что решение задачи дает в первом приближении те самые
колебания, которые находили, принимая приближенно синусоидальные
распределения тока. Во втором приближении получается затухание вследствие
излучения, которое мы не рассматривали. Таким образом, с помощью решения
Абрагама было полностью выяснено, как ведет себя антенна сама по себе.
Эта задача решена Абрагамом как самостоятельная задача.
Одна'ко интересующий нас вопрос - оправдание применения уравнений системы
параллельных проводов к антенне - Абрагамом не решен. Оправдать это
применение, я думаю, можно. Есть целый ряд подходов к вопросу. Если бы,
