Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 133

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 160 >> Следующая

условия для ср и <р' в двух точках. Но мы будем опираться при решении
исследуемой задачи на то, что известно относительно классической задачи.
Уравнение (5) линейно. Если <рх - решение уравнения (5), то Сер-,, где С
- постоянная, тоже решение.
Известно, что уравнение (5) имеет фундаментальную систему решений и ср2,
такую, что любое решение, вся совокупность решений, может быть
представлена в виде
ср = О, н- С2ср2, (9)
где Сх и С2 - постоянные.
Если заданы ср и <р' для х = 0, то, подобрав соответственно С, и С2,
всегда можно найти решение (9), удовлетворяющее этим условиям.
Возьмем для простоты в качестве решение, удовлетворяющее при х=0 условиям
?i (0) - 1, (о) = о, (10)
а в. качестве ф2 - решение, удовлетворяющее условиям
?а(0)=0, ?Л0) = 1. (11)
Такие решения существуют в силу основной теоремы теории дифференциальных
уравнений. Выясним, образуют ли эти решения фундаментальную систему.
Вспомним, что необходимое и достаточное условие того, что <pj и ср2
образуют фундаментальную систему, таково:
<PiM "Ps(*)
<Pi'M ъ'М
Для нашего уравнения (5) очень легко доказать теорему, утверждающую, что
если детерминант W(х) отличен от нуля для
W(x) =
=7^0.
424
ЛЕКЦИИ по колебаниям, часть вторая
какого-то одного значения х, то он отличен от нуля для всех значений х.
Но в нашем случае
и решения о, и о2 образуют фундаментальную систему.
Решим теперь основной вопрос: существует ли решение, удовлетворяющее
граничным условиям (6) и (7). Запишем их сокращенно в таком виде:
Если краевая задача (5) - (7) имеет решение, то оно содержится в (9), так
как в этом семействе функций содержатся все решения уравнения (5). Таким
образом, вопрос сводится к тому, можно ли подобрать С} и С2 так, чтобы
удовлетворить условиям (6) и (7).
Укажем явно, что наши решения о] и (c)2 зависят от параметра 1, т. е. будем
писать их в виде
Потребуем, чтобы решение (9) удовлетворяло граничным условиям:
Эти уравнения линейны и однородны по отношению к С, и С,. Они всегда
имеют тривиальное решение:
но оно нас не интересует. Нам нужно, чтобы по крайней мере
/,(?)- 0; 40?) -о.
(12)
(13)
Операторы /, и /, линейны:
/1,2 ((c)j ?2) 1\,2 (9i) -I- h.2 ((r)2);
4,2 (Со) = CVl,2 (о).
?1 = ?1 (*> Х)> = ?2 (х, 7).
с,/ДгО ьс:/,ы- о,
С,/Л?|)-ьС4Ы^о.
(14)
С; - - С.. О,
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
425
одна из констант С] и С., не равнялась нулю. Уравнения (14) имеют
нетривиальное решение только тогда, когда
Левая часть есть некоторая трансцендентная функция от Нетривиальные
решения для С1 и С2 могут быть только при таких л, которые удовлетворяют
трансцендентному уравнению (15). Таким образом, сразу видно, что краевая
задача имеет решение не при всяком
Итак, мы получили трансцендентное уравнение для определения интересующих
нас чисел Л Нам нужно уметь его решать, хотя бы приближенным способом.
Вернемся к уже рассмотренному случаю однородного стержня и посмотрим, что
там дает изложенный способ. Возьмем простейшие краевые условия
Пойдем только что указанным "лобовым11, систематическим путем. Для случая
(16) мы можем написать в явном виде фундаментальную систему <pj и од
(15)
? (0) = 0, о (0 = 0
и положим для простоты:
q (х) = 1.
(16)
Oj =COS V AX,
Уравнения (14) здесь таковы:
с, • i-н с-о=о,
Cj cos \ll ь С., г- sin \/Ц- 0.
~ V л
Условие (15) имеет, следовательно, вид
1
cos \~kl
0
-- sin\ А / si
VA
откуда
sin \lll ¦- 0.
426
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Это уже известное нам трансцендентное уравнение для собственных значений
однородного стержня.
Вся трудность общей задачи (о неоднородном стержне) •- в решении
трансцендентного уравнения (15). В большинстве случаев оно находится
графически, но мы займемся принципиальной стороной вопроса. Мы докажем,
что уравнение (15) всегда имеет бесчисленное множество решений,
образующих дискретную совокупность. Это утверждение связано с
определенным типом краевых условий. Аналогично обстоит дело и в случае
периодических краевых условий
9(0) = ?(/), (0 ) = ?'(/)
или похожих условий
9(0)-9(/), 9'(0 ) = -?'(/)¦ (17)
Но если, например, мы ставим условия
9(0) = 0, <р'(0) = 0,
то детерминант А = 1 и нельзя подобрать X, удовлетворяющее уравнению
(15).
В случае краевых условий (17) имеем 1=0, и, следовательно, краевым
условиям можно удовлетворить при любом X. В этом легко убедиться путем
элементарного рассуждения. Перенесем начало координат в середину стержня.
Тогда условия (17) примут вид
•'(-тНКт)' ?'(-
Им удовлетворяет любая функция вида cos ^). х, так как косинус - четная
функция, а его производная - нечетная.
Этот аппарат очень красив на бумаге, но его трудно применить практически,
так как трудно найти фундаментальную систему уравнения (5) при q,
зависящем от х. В первый момент может даже показаться, что этот способ
практически ничего не дает.
Надо указать путь для вычисления с достаточным приближением 9, и ср2 как
функций X. Общая теория говорит, что 9 является непрерывной функцией от
X, а кроме того (для всякого заданного лг) она является целой функцией от
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed