Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что переход к бесконечному числу постоянных ведет к новым
постановкам задачи.
Как возникли эти вопросы?
Первый, кто указал на возможность разложения по собственным функциям, был
Бернулли. Он решил проблему струны именно таким способом. Он сказал:
"Возможность разложения следует из того, что движение должно
удовлетворять начальным условиям". Это было принято в штыки, так как в то
время придерживались определения функции, данного Эйлером. Эйлер различал
два класса функций:
1. Те, которые изображаются с помощью известных нам аналитических
выражений.
2. Те, которые изображаются кривыми, "как-нибудь свободной рукой
проведенными" (libera manu ducta).
25*
388
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Но Бернулли же выходит, что такая форма струны, как на рис. 155, с одной
стороны, может быть изображена с помощью тригонометрических функций (1-й
класс функций по Эйлеру), а с другой стороны - это функция 2-го класса.
На этом основании считали, что ее нельзя представить в виде одной функции
1-го класса (одного аналитического выражения).
Трудность может быть сформулирована так. Значение ряда (16) задается
дискретным рядом величин (коэффициентов разложения), а нужно с их помощью
представить функции f(x) для континуума значений х. Множество
коэффициентов счетное, а множество непрерывных функций, так кажется,
"гораздо больше".
Теперь известно, в чем дело.
Рис. 155.
Современное определение функции таково: у есть функция от х, если каждому
определенному х соответствует определенное у. Если о функции известно
только это, то действительно ее нельзя разложить, вообще говоря, в ряд со
счетным множеством чисел. Но оказывается, что множество непрерывных
функций - тоже счетное; оно меньше по своей мощности, чем континуум. Дело
в том, что непрерывную функцию достаточно определить в рациональных
точках, тем самым она определена во всех точках. Рациональные же точки
образуют счетное множество. Поэтому и оказывается, что мощность множества
непрерывных функций не больше, чем мощность множества коэффициентов
нашего ряда.
Первое строгое обоснование разложения в ряд Фурье было дано Дирихле. Даже
теперь неизвестны необходимые условия разложения в ряд Фурье. Но известны
достаточные условия, и нас, физиков, они удовлетворяют.
Перейдем к другому вопросу.
Что значит: ряд (16) сходится? Это значит, что функцию f(x) можно точно
представить рядом. С одной стороны, это для нас слишком много, с другой -
это нам ничего не дает. Пусть известно, что ряд сходится. Отсюда еще
нельзя ничего заключить о том, что дает конечное число членов. Физику
вопрос о сходимости не интересует. Ее интересует другой вопрос: можно ли
быть уверен-
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
389
ным, что с помощью конечного числа членов удастся с достаточной точностью
представить заданную функцию?
Доказательства, обосновывающие оба утверждения, тесно сплетаются, но
принципиально - это разные утверждения. Нужно ясно их разграничивать.
Если ряд сходится, то этого еще недостаточно, чтобы обосновать те
действия, посредством которых мы получаем формулу (20). Не всякий
сходящийся ряд можно интегрировать почленно. Ряд
(х - хе 1 )-ь(хе * -2хе 2i*) ¦ ¦ ¦ (21)
сходится для каждого х. Сумму Sn первых п его членов можно представить в
виде
О -
оп = х - пхе
При п-> со второй член стремится к нулю и сумма стремится к х.
Проинтегрируем ряд в интервале от 0 до 1. Взяв сначала сумму, а потом
проинтегрировав, мы получим:
1
J xdx - j. (22)
о
Будем теперь интегрировать почленно, а затем суммировать. Мы получим,
просуммировав, интегралы от п первых членов:
1
J(x - пхе~ <,2;2) dx = -- • о
При п->со это выражение стремится к нулю, т. е. к пределу, отличному от
(22). Этот пример показывает, что речь идет не о пустых придирках.
Для того, чтобы сходящийся ряд можно было интегрировать почленно,
достаточно, чтобы ряд сходился равномерно. Это означает следующее.
Рассмотрим ряд
ui(x)-*~u2(J*')~f~ ¦ • ¦+U"W+. • •
Пусть
^,W=u,+iW + ""+2W+ • • •
Если ряд сходится, то при фиксированных х для любого е^>0 можно найти
такое N, что |/?"| <С г при n>N.
390
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Но возможны два случая.
1. Значение N зависит от х. Может случиться, что по мере подхода к
определенному значению х число N неограниченно растет.
2. Значение N может быть выбрано независимо от х. Во втором случае
говорят, что ряд сходится равномерно.
Ряд (21) сходится для всех х, но сходится неравномерно.
В интересующем нас вопросе имеется следующая основная теорема (мы не
будем ее доказывать): если f{x) непрерывна, a f'(x) и f'(x) кусочно-
непрерывны (т. е. имеются конечные куски, где эти производные непрерывны,
и число таких кусков конечно), и если f(x) удовлетворяет граничным
условиям некоторой задачи Штурма - Лиувилля, то f(x) может быть разложена
в разномёрно сходящийся ряд по собственным функциям этой задачи Штурма -
Лиувилля. Эта теорема указывает достаточные условия разложимости. Более
широких условий физика и не требует.
