Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 123

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 160 >> Следующая

Если бы для того, чтобы представить с хорошим приближением данную
функцию, нужно было принимать во внимание очень высокие члены разложения,
то наши результаты не имели бы большого физического интереса, так как на
основании молекулярных соображений мы знаем, что число отдельных
колебаний конечно. К счастью, это не так.
Мы займемся далее конкретизацией высказанных в этой лекции результатов на
определенных физических задачах, а затем вернемся к общим вопросам.
ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
(19/XII 1931 г.)
Задача об однородном стержне с закрепленными концами. Частоты и формы
колебаний. Свойства, типичные и нетипичные для общего случая задачи
Штурма-Лиувилля. Случай свободных концов. Случай, когда один конец
свободен, а другой - закреплен. Случай электрической линии, нагруженной
конденсатором. Случай электрической линии, нагруженной катушкой
самоиндукции.
Вернемся к задаче Штурма-Лиувилля, сформулированной в прошлой лекции.
Возьмем самый простой, всем известный пример. Этот пример практически
чрезвычайно важен. Кроме того, в нем многие черты характерны для самой
общей проблемы Штурма- Лиувилля.
ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
391
Пусть р (х) и q (х) постоянны. Обозначим
9
и будем искать частные решения вида Для <р (х) и ф (t) получаем
уравнения:
(2)
0)
(3)
Мы покажем, что собственные значения л положительны. Тогда можно
обозначить
Вся задача будет решена, если мы найдем и.
Нам нужно найти не просто решение уравнения (2), а решение,
удовлетворяющее краевым условиям. Возьмем для простоты краевые условия
сительно х и t (в общем случае уравнение для у несимметрично относительно
х и t). Однако вся задача в целом и здесь несимметрична относительно х и
t: по х мы имеем краевые условия, а по t- начальные условия.
Можно ли разумно поставить задачу так, чтобы по t были
ду _
заданы краевые условия, а у и были для х=0 заданными функциями от t? Я не
знаю интересных случаев, где задача ставилась бы таким образом. Если речь
идет об отыскании решений,
>. = ы2,
где <0 - действительная величина (частота), и из (3)
ф = A cos at-А- В sin at.
(4)
<р(0) -0, 9(/) = 0.
(5)
Заметим, что волновое уравнение
получающееся при /t>(x) = const и <7 (х) = const, симметрично отно-
392
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
периодических по времени, то и здесь по отношению к х. мы не интересуемся
тем, что происходит при х<С0 и х^> I.
Для случая постоянных р и q краевая задача решается очень легко. Мы сразу
получаем из уравнения (2):
/¦> МДГ . /~* • //~\
<P = CiCos -4-C2sm--, (6)
где С, и С2- произвольные постоянные. Нам нужно, чтобы (6) удовлетворяло
условиям (5). Пусть х~0. Тогда из (6) получаем ф(0)- Сц и, следовательно,
в силу (5)
Сг = 0. (7)
Пусть х = 1. Принимая во внимание (7), получаем из (5) и (6):
• 0)1 п
sin - - О,
а 7
откуда
-^=от (*=1,2,3,...). (8)
Здесь как раз заключен решающий момент. Возможно удовлетворить нашим
граничным условиям, но не при всяких ш, т. е. не при всяких л, а только
при каких-то определенных.
Мы пришли к трансцендентному уравнению для ы, имеющему бесконечное
множество действительных и положительных корней. Каждому значению
характеристического числа (или ы) соответствует одна (с точностью до
постоянного множителя) функция <р (х), т. е. одна вполне определенная
форма колебания. Все эти свойства типичны. При краевых условиях
рассматриваемого типа они имеют место не только при постоянных р и q (при
периодических краевых условиях дело обстоит иначе).
Решениями являются гармонические колебания (4), частоты которых образуют
согласно (8) бесконечную дискретную последовательность. Она не имеет
сгущения в конечной области, а растет в бесконечность. И эти свойства
тоже типичны для задачи Штурма-Лиувилля. Но не типично то, что частоты
(8) образуют гармонический ряд, т. е. относятся между собой, как целые
числа. Обертоны неоднородной системы не относятся друг к другу, как целые
числа.
Перейдем к форме колебаний. При s = l в интервале (0,/) укладывается
полволны (рис. 156):
ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
393
при s = 2 - целая волна, при s = 3 - полторы волны и т. д. Вообще
То, что пространственная форма колебания синусоидальна,- это не типично.
Но типично для всех задач Штурма-Лиувилля то, что при переходе от s к s+1
число нулей функции <р(х) внутри интервала (О, I) возрастает на единицу.
При s-ом колебании в интервале (0, /) функция (х) имеет в одних случаях s
нулевых точек, в других случаях s - 1 (например, в только что
рассмотренном).
Антенна, колеблющаяся на каком-нибудь обертоне, разбивается на ряд-
участков, колеблющихся в противоположных фазах. Если
5= /
S-3 s=2
Рис. 156.
антенна колеблется в основном тоне, она дает максимум излучения в одних
направлениях; если она колеблется в другом тоне, то она дает максимум
излучения в других направлениях.
Можно сказать, что все точки колеблются в одной и той же фазе, но
амплитуды соседних участков имеют противоположные знаки. Это свойство
также типично.
Нулевые точки называются узлами, точки максимума амплитуды- пучностями.
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed