Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
сводилась к решению этих систем линейных уравнений. Детерминант системы
отличен от нуля, поэтому такая система допускает одно и только одно
решение.
В случае распределенной системы имеются частные решения вида
<рг (х) cos of, фi (х) sin (0,.?.
В силу линейности частным решением является также у{ (х, ?) = о,- (х) (А(
cos of -+- Bt sin м,?),
1 [Доказательства обеих теорем о собственных числах см. в 9-й и в 10-й
лекциях части П.]
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
385
где А{ и В{ - постоянные. Если мы сложим ряд таких решений, то мы также
получим решение. Это очевидно в случае конечного числа слагаемых.
Предположим (пока что без обоснования), что это верно и для бесконечного
числа слагаемых (мы действуем по аналогии). Итак, предположим, что мы
имеем решение
со
У (*> *) = 2 <р(. (х) (cos b\t -+- Bt sin <o,f). (15)
i- 1
Если мы сможем подобрать А( так, что
СО
(16)
i=-1
то этим мы удовлетворим первому начальному условию, а если мы сможем
подобрать В,¦ так, что
00
F(x)= 2 Bibxtft(х), (17)
;=i
то мы удовлетворим и второму начальному условию.
Таким образом, вопрос о возможности удовлетворить основ-
ным уравнениям и начальным условиям сводится к вопросу о том, можно ли
представить заданную функцию в виде бесконечного ряда, состоящего из
постоянных, умноженных на собственные функции нашей краевой задачи. Может
ли любая функция от х быть разложена в ряд по собственным функциям задачи
Штурма- Лиувилля?
В дискретных системах аналогичный вопрос был тривиальным, он сводился к
решению системы линейных уравнений. Теперь же мы имеем дело не с
конечными совокупностями величин, а с функцией. При этом появляются
бесконечности двоякого рода: бесконечное число значений х и бесконечное
число членов ряда. Поэтому поставленный вопрос является трудным. Мы еще
вернемся к нему, а пока заметим, что в частном случае, когда мы можем
написать функции <р4- {х) явно, а именно в частном случае однородного
стержня (или однородной струны), закрепленного на концах,
?.¦ W = sin - .
Таким образом, вопрос о возможности разложения по собственным функциям
сводится здесь к следующему: можно ли разложить произвольную функцию,
удовлетворяющую граничным усло-
25 Л. И. Мандельштам, том IV
386
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
виям, в ряд Фурье по синусам? Мы видим, что ряд Фурье - очень частный
случай ряда по собственным функциям задачи Штурма- Лиувилля. То, что он
сыграл такую исключительную роль, связано с физической проблемой
однородной струны.
Вернемся к общему случаю. Возьмем две фундаментальные функции ф,(х) и
ф*(х), относящиеся к двум различным характеристическим числам \ и
Оказывается, что для них имеет место замечательное равенство:
/
J<7 (*)?< = 0 (i^=k). (18)
о
Если две функции удовлетворяют такому соотношению, то говорят, что они
ортогональны по отношению к функции q (х). В этом случае говорят об
ортогональности с весом, в отличие от простой ортогональности:
i
J Ь (*)?* (x)dx - 0.
0
Для удобства часто вводят новую систему функций:
фi (х) = \'q (х) <р,- (х), для которых имеет место простая
ортогональность. Интеграл
J<7 М "ii (х) dx,
о
имеющий, как мы увидим, вполне определенный физический смысл, заведомо не
равен нулю.
Заметим, что если фундаментальную функцию мы умножаем на постоянную, мы
снова получаем фундаментальную функцию. Часто уславливаются брать такой
множитель, чтобы было
1
\q(x)<?i2(x)dx=l. (19)
о
В этом случае говорят, что функция ф, (х) нормирована.
В результате (18) легко найти коэффициенты разложения функции /(х) по
функциям <р,(х) задачи Штурма-Лиувилля. Умножим обе части равенства (16)
на <р,(х)ф(х) и проинтегрируем от 0 до I. Слева получаем:
|ф(х)/(х) 9((x)dx. о
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
387
Справа получится сумма, в которой ввиду свойства ортогональности (18) все
интегралы равны нулю, за исключением того, который содержит <р,-2(лг).
Так как функции <р,(х) по предположению нормированы, то мы получаем:
А= §q(x)f(x)yi{x)dx. (20)
о
Если известны все фундаментальные функции, то найти коэффициенты
разложения не представляет трудностей. Таким образом, все как будто бы
обстоит благополучно.
Но то, что мы сделали, абсолютно незаконно.
Справа в (16) стоит бесконечный ряд. Неизвестно, сходится ли он, а если
сходится, то представляет ли он функцию f(x). Нельзя легко относиться к
таким вещам. Вот пример, на котором это хорошо видно.
Пусть в ряде (16) пропущена одна функция. Ряд остается бесконечным. Но
теперь он не может представить любую функцию f(x). В самом деле, пусть
f(x) есть как раз забытая функция из числа <рДх). Тогда заведомо нельзя
ее изобразить с помощью оставшегося ряда, так как он ортогонален к
пропущенной функции.
В случае системы с конечным числом степеней свободы ясно, что посредством
N- 1 постоянных нельзя удовлетворить 7V начальным условиям. Теперь у нас
бесконечное число постоянных и бесконечное множество начальных значений,
и не сразу ясно, можно ли им удовлетворить, выкинув одну постоянную:
со-1 = оо.
