Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 125

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 160 >> Следующая

через конденсаторы. Здесь уравнения прохождения тока через конденсатор
приводят для тока к граничному условию
?(0) = <р(0>
(12)
?'(0) = ?'(/)
(13)
(14)
где С-емкость единицы длины провода, С0-емкость конден-
ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
397
сатора, и к аналогичному условию (с другим знаком) при л = 0. Эти условия
имеют, таким образом, вид:
? = "? (* = 0),
% = -'& (* = /),
где о. и р - постоянные и положительные величины1. Получается один из
случаев задачи Штурма-Лиувилля.
Пусть левый конец заземлен накоротко (рис. 160). Тогда сс = 0. Поступая
совершенно так же, как для стержня, мы видим, что
________
Рис. 160.
на основании граничных условий при х - 0 нужно отбросить
" (ОЛТ гр _
частное решение уравнения вида sin-. 1аким образом, здесь
?(*) = cos^. (15)
Теперь нужно определить такие <о, при которых (15)
удовлетворяют второму граничному условию. Подставляя(15) в
гранич-
ное условие (14), получаем:
(о . (о/ С и>1
Sin --=----7- COS - ,
а а С у а
т. е. более сложное уравнение для ю, чем прежде. Займемся его
исследованием.
Умножив обе части на I, мы получим трансцендентное уравнение
ы/ . о>1 С' (о/ ,л "
- sin - = 7- cos-, (16)
a a Cq а
где С' = С1 - емкость всего провода, или иначе
?t g? = b, (17)
1 [См. 4-ю лекцию части II.]
398
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
где
"о/ у С
^'Со-
Предположим сначала, что емкость конденсатора очень велика по сравнению с
емкостью всего провода. Взяв достаточно малое значение Ь, можно в первом
приближении заменить tg? через что приводит к уравнению
Вспомним, что
0)2/2 С'
а2' - Со
С2
а CL'
где с - скорость распространения в вакууме. Следовательно,
2 _ с2С"
- CLC0P >
или
2 С2
Ш - /.'Со'
где L' = Ll - самоиндукция всего провода. Это не что иное, как формула
Томсона.
Уравнение (16) для частоты имеет бесконечно много корней. Мы показали,
что частоту основного колебания при достаточно малом значении отношения
С'/С0 можно вычислить по формуле Томсона. Мы пришли к обоснованию этой
формулы для случая, когда емкость проводов мала по сравнению с емкостью
конденсатора.
Очень часто отношение С'/Со мало, но желательно учесть его в первом
порядке, т. е. провести вычисление со следующей степенью точности. Взяв
два члена разложения tgE в ряд по степеням ?, получаем:
<оI /Ы
го/ /(¦)/ ^ о""/:: \_____________ С'
а \ а За3/ Cq
Первый член в скобке - малая величина, второй - еще меньшая. Не
обосновывая этот прием, подставим во второй член то значение о), которое
мы нашли из нулевого приближения. Мы получим тогда:
а* V ЗС0 / С0 '
ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
399
откуда
^ - С П8ч
о2 r С ¦ '1°'
0 4 3
Таким образом, в следующем приближении емкость проводов учитывается тем,
что к емкости конденсатора прибавляется одна треть общей емкости
проводов. Эту поправку часто приходится принимать во внимание на
практике.
Почему в (18) входит не вся емкость проводов, а лишь некоторая ее часть?
Напряжение распределено по проводам неравномерно (рис. 160), емкость
провода "работает" не полностью и напряжение на проводе меньше, чем на
конденсаторе. В выражение потенциальной энергии через напряжение на
конденсаторе войдет поэтому только часть емкости провода:
U - (С0 -+- ссС') ^ , а < 1.
Рассмотрим теперь общую картину. Напишем:
*1 = ? = ctg
Тогда трансцендентное уравнение (17) принимает вид
Начертим графики функций т) и ? и рассмотрим их точки пересечения (рис.
161). Их абсциссы дадут искомые значения ?. Если мы рассматриваем задачу
при различных емкостях С0, то луч, изображающий функцию т)(с),
поворачивается. Все ветви кривой Щ) пересекаются лучом. Отсюда видно, что
существует бесконечное множество собственных значений.
Пусть Со = 0. Тогда точки пересечения лежат на оси абсцисс, и в них
(й/_ 77 371 577
7Г ~"2 " 2 ' У '•••
Это как раз те значения ш, которые соответствуют, как мы уже знаем,
одному заземленному и одному открытому концу.
По мере увеличения С0 точки пересечения передвигаются влево. При С0
очень большом мы получаем один корень вблизи
? = 0. Это и есть тот корень, который мы нашли в первом
при-
ближении.
400
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
При Cq-^00 наименьшая частота стремится к нулю, остальные частоты тоже
уменьшаются, но стремятся к конечным пределам, определяемым из равенств
т. е. к частотам антенны, заземленной на обоих концах.
Итак, при увеличении емкости все "тоны" понижаются. Основной тон
становится как угодно низким. Однако обертоны остаются
высокими. Этим объясняется, почему при больших С0 можно пользоваться
формулой Томсона: обертоны лежат очень далеко от основного тона; они
быстро затухают и часто могут нас не интересовать.
Другой важный случай - провод с индуктивностью на конце (рис. 162). Если
писать уравнение не для тока, как это делалось до сих пор, а для
напряжения, то краевые условия здесь будут иметь вид:
Получаются такие же граничные условия, как в задаче о токе в том случае,
когда левый конец разомкнут, а правый замкнут на емкость.
Если левый конец разомкнут, а правый попрежнему замкнут на индуктивность
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed