Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
<">
Остановимся коротко еще раз на электрической системе. Мы рассмотрели
случай параллельных проводов и для этого случая оправдали "домашний11,
до-максвелловский способ вывода - способ Кирхгофа. Он приводит к
уравнениям:
61 С(2)
dx dt
dV___LdJ_ дх с1 dt
(3)
.При этом L и С (самоиндукция и емкость на единицу длины) были
постоянными. Пусть провода непараллельны, но непараллельность очень мала,
т. е. на участке, сравнимом с расстоянием между проводами, последнее
меняется очень мало (это - вполне определенное высказывание относительно
порядка малости; в некоторых других задачах предполагается малость
расстояния по отношению к длине волны). В этом случае можно пользоваться
той же теорией, но считая, что С и L--функции расстояния между проводами.
При этом
С = -^-, L = 2'j- In -,
/*2 ' Г! '
2 In - 1
П
но нужно помнить, что такой подход верен только приближенно. Погрешность
здесь можно оценить.
Исключая V, мы получаем для тока уравнение
L дЧ дх \ Сдх) ~ с2 dfi '
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
369
Рассуждения, с помощью которых мы пришли к уравнениям (2) и (3),
неприменимы для одного провода.
Нас интересует конечная струна, конечная лехерова система и т. п. В таких
случаях нужно задать условия на концах. Для стержня, закрепленного на
концах, эти условия очевидны: концы неподвижны в течение всего времени:
уф, 0 = 0, у{1. 0 = 0- (4)
Уравнением (1) и этими двумя условиями движение системы еще не
охарактеризовано полностью, хотя сама система характеризуется ими вполне.
Заметим для сравнения с дискретными системами: то, что там задается
числом уравнений \ здесь определяется граничными условиями.
Для того, чтобы задача была определена, нужно еще задать начальные
условия для смещения
у(х, 0) = /(*)
и для скорости
M^V=F(x).
Требуется решить задачу о том, как ведет себя заданная система
(определенная уравнением в частных производных и граничными условиями)
при заданных начальных условиях, т. е. найти у(х, t). Прежде чем заняться
решением этой задачи, рассмотрим еще некоторые другие типы возможных
граничных условий.
В электрической задаче стержню с закрепленными концами соответствует
лехерова система, разомкнутая на концах. На разомкнутом конце ток I
должен равняться нулю, так как в противном случае на конце происходило бы
накопление заряда и неограниченное нарастание напряжения.
Каковы граничные условия в случае стержня, закрепленного на одном конце и
свободного на другом (рис. 147)?
Сила, возникающая вследствие деформации, есть
На свободном конце эта сила равна нулю. В самом деле, в противном случае
на бесконечно малый концевой элемент стержня действовала бы конечная сила
и возникали бы бесконечные уско-
1 [См. 30-ю лекцию части I, уравнения (1).] 24 Л. И. Мандельштам, том IV
370
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
рения. Следовательно, если мы не допускаем возможности бесконечных
ускорений, здесь должно быть
1,(0, 0=0,
Если оба конца свободны, то
№>=0, (5)
дх ' дх '
Таким образом, в зависимости от задачи получаются разнообразные граничные
условия.
Рис. 147. Рис. 148.
Обратимся снова к электрическим системам.
Пусть провод заземлен (рис. 148). Легко видеть, такое требование должно
выполняться на заземленном конце. На нем напряжение равно нулю, т. е.
V=0, откуда ~^=0. Следовательно, на основании (2) на заземленном конце
(при х = 0) имеем:
Если заземлены оба конца, то это требование должно выполняться как при лг
= 0, так и при х = 1.
В некоторых учебниках в случае условий типа (4) говорят о граничных
задачах первого рода, а в случае условий типа (5) - о граничных задачах
второго рода. Но, как мы видели, возможны и смешанные задачи.
Есть еще один тип граничных условий, который для нас очень важен.
Пусть провод заземлен на одном конце через конденсатор (рис. 149, а).
Этому соответствует стержень, закрепленный через пружину (рис. 149, б).
Стержень с сосредоточенной массой на конце (рис. 150, б) соответствует
проводу, заземленному через индуктивность (рис. 150, а). Такие задачи не
менее важны для нас, чем "классические" задачи первого и второго рода.
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
371
Остановимся на случае провода, заземленного через емкость. Напишем для
правого конца уравнение
_д±-Г^ ,(Л
дх~ dt • W
Здесь /-ток на конце провода; V--напряжение между, точками провода А, В.
Напряжение на конденсаторе есть
v=§,' <7>
'-'О
где Q - заряд конденсатора. В конденсаторе течет ток
(8)
Ток, определяемый этим соотношением, - тот же ток, что течет через конец
провода. Напряжение, определяемое соотношением
а) ^
JLr
б)
I ..................... rmmf.
а)
жжщржщщщ*
б)
Рис. 149. Рис. 150.
(7), совпадает с напряжением между точками А и В. Следовательно, мы можем
подставить (7) и (8) в (6), что дает:
- - / (О)
дх С0 W
Таково условие на конце, заземленном через конденсатор. Аналогичное
условие мы получим, если стержень закреплен через пружину.
Возможны также граничные условия более сложные, чем (9),
но пока что мы не будем их рассматривать. Заметим только, что
