Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 128

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 160 >> Следующая

например, я умел рассчитать один достаточно длинный провод, то это дало
бы хорошее приближение.
Зоммерфельд вычислил поле такого провода при наличии сопротивления1. Если
учитывать сопротивление, то можно решить задачу для одного бесконечно
длинного провода. Оказывается, что здесь, хотя и с затруднением, но
сделать это можно.
1 [ф. Франк н Р. М и з е с. Дифференциальные уравнения математической
(физики, стр. 925 и след. М.-Л., 1937.]
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
407
В случае провода с аксиальной симметрией составляющая магнитного поля Н
по направлению провода равна нулю. В плоскости, перпендикулярной к оси
симметрии (оси х),
дЕу dEz " дНу dHz "
dz ду ~U' ду dz - U*
Это позволяет ввести нечто вроде потенциала в плоскости, перпендикулярной
оси провода. В этой ''плоскости интеграл от Е не зависит от пути, что
позволяет говорить о некоторой "емкости11. Хотя она обладает другими
свойствами, чем обычная емкость, мы можем действительно оправдать наши
дифференциальные уравнения в применении к одному проводу.
Итак, положение таково.
Обычные представления для одиночного провода неправильны. Понятия
индуктивности и емкости на единицу длины здесь не имеют места, но для
прямолинейного провода (антенны) можно ввести некоторые условные значения
таких параметров и с ними написать обычные уравнения двухпроводной линии.
Пока все это сделано "на пальцах11, но этим вопросом стоило бы заняться.
Его исследование не проведено до сих пор, и я счел нужным сказать об этом
несколько слов.
Вернемся к задаче о собственных колебаниях распределенной системы. Здесь
имеется далеко идущая аналогия с дискретной системой. Отличие
распределенной системы в том, что у нее число собственных колебаний
бесконечно велико.
Пусть при ^ = 0
y=f(x), (i°)
В общем решении для однородной системы
у sin (Аа cos -t-i?s sin мst) (11)
s
можно подобрать А3 и Bs (если принять, что разложение возможно), чтобы
удовлетворить начальным условиям (10). Мы доказали теорему о том, что
удовлетворяющее начальным условиям решение (11) -единственное.
Заметим, что
1шя
- а,
¦к '
где а есть скорость распространения. Но понятия о скорости, как о
таковой, здесь нет.
408
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Вообще говоря, возбуждаются все собственные колебания, но "случайно"
некоторые из них могут отсутствовать. Если требуется, чтобы было только
одно собственное колебание (одно м4,), нужно возбудить систему
специальным образом.
В рассматриваемом здесь случае сложение гармонических колебаний дает
периодическое колебание.
Существует совсем другой способ решения той же задачи.
При этом способе рассматривают не тот объект, который нам задан, а совсем
другой: неограниченную струну (или стержень). Исходя из исследования
бесконечной струны, тоже можно придти к решению интересующих нас
вопросов.
Уравнение (1) справедливо и для неограниченной струны. Самое общее его
решение имеет вид
У = А(х- at) -+- /2 (jr-t-atf),
где /, (?) и /2(?)-функции, удовлетворяющие известным условиям
непрерывности. Легко показать, что каждая из этих функций удовлетворяет
дифференциальному уравнению (1); в самом деле,
{" __{".у1
ох2 /1 > d/2 /1 а >
и аналогично для /".
Выясним смысл решения /2 (х-at). В момент f = 0 имеем:
V - fi(x).
То значение у, которое было в момент ? = 0 в точке х, будет через время t
в новой точке х-л-at. Таким образом, возмущение перемещается без
изменения формы; все возмущение, как "жесткое", распространяется со
скоростью а. Такой процесс возможен только в однородной системе (стержне,
струне).
Только потому, что возмущение распространяется, не меняя формы, можно без
дальнейших пояснений говорить о скорости распространения возмущения. Если
бЬг оказалось, что возмущение придет в другое место, имея другую форму,
то обычное понятие скорости потеряло бы для него смысл. Для этого случая
понятие скорости надо было бы заново определить, так как нельзя
идентифицировать точки возмущения разной формы. Разумеется, скорость
движения | отдельной материальной точки стержня и скорость
распространения импульса ничего общего между собой не имеют.
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
409
Совершенно таким же образом f2(x -ь at) изображает распространение
импульса в противоположную сторону. Общее решение волнового уравнения
изображает распространение двух импульсов во встречных направлениях. Их
наложение дает все возможные движения.
Пусть даны начальные распределения (10) для смещений и скоростей.
Уравнению (1) и этим начальным условиям удовлетворяет функция
X I at
y^\[f(x-*-at)-+-f(x - at)]-b-~§F(Z)d'. (12)
х--at
Действительно, интеграл есть разность функции от x-\-at и той же функции
от х¦-at. Следовательно, у есть сумма функции от x~\-at и функции от х -
at, а сумма такого вида удовлетворяет волновому уравнению.
Для t - 0 интеграл равен нулю, и мы имеем:
С другой стороны,
^ = у [af (х -4- at) - af (х - at)] н- ^{F (х н- at) -+- у F(x - at)]
при ^ = 0 равняется F(x). Следовательно, начальные условия также
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed