Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Точки, являющиеся узлами для одной функции, могут быть пучностями для
другой (что иногда вызывает недоразумения). В самом деле, можно
интересоваться разными вещами, например:
1) Насколько частицы отклоняются. Функция <р (х) как раз и описывает
отклонения частиц.
2) Какова в различных местах деформация , т. е. насколько
различные точки удалились друг от друга. Если ~^г - 0, то соседние точки
одинаково удалены от положения равновесия; если -|^-<С0, то имеет место
сжатие, если 0 - растяжение.
Узлам смещения у соответствуют в случае (6) пучности сжатия и
механического напряжения, и наоборот. То, что узлы
394
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
смещения и деформации не совпадают, и то, что пучности смещения совпадают
с узлами деформации,- типично для общей проблемы, но то, что пучности
деформации совпадают с узлами смещения,- не типично.
В стержне узлы смещения являются для материала самыми опасными (в смысле
напряжения) местами.
В электрическом однородном случае, там, где ток имеет узел, напряжение,
имеется пучность, и наоборот.
Итак, говорить просто об узлах или пучностях нельзя, каждый раз нужно
указывать, какая величина имеется в виду.
Рис. 157.
В случае однородного стержня с закрепленными концами раз' ложение
начального смещения по собственным функциям имеет вид
f(x) - sin . (9)
а
Это - обычный ряд Фурье по синусам. Постановка задачи здесь несколько
другая, чем при разложении в ряд Фурье периодической функции.
Известно, что всякую периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье.
Здесь же речь идет о разложении функции в интервале от х = 0 до х = 1.
Если х будет расти за пределами интервала (0,1), то функция,
представляемая рядом Фурье (9), будет повторяться периодически (рис.
157), но здесь это для нас не интересно.
Несколько слов относительно случая открытых концов. Форма колебаний (для
у) в этом случае показана на рис. 158. Здесь число узловых точек для
обертона данного номера на единицу больше, чем в случае закрепленных
концов.
Между обоими случаями имеется и математически и физически довольно
существенная разница. Для закрепленных концов 7. = О не является
собственным значением. При Х = 0 уравнение (2) имеет общее решение
9 (х) = С1х-ь-С2, (10)
ШЕСТАЯ ЛЕКЦИЯ
395
в котором нельзя подобрать Сг и С2 так, чтобы удовлетворить граничным
условиям (5). Подставляя (10) в граничные условия для открытых концов:
?'(0)=0, ?'(/)=0, (11)
получаем:
С\ = 0, = С2,
т. е. граничным условиям удовлетворяет постоянная величина. Таким
образом, в случае специальных краевых условий (11) л = 0
является собственным значением. Физически это совершенно очевидно:
существует решение, при котором стержень движется как целое. Оно
соответствует случаю, когда все точки стержня имеют одинаковую начальную
скорость. Начальными условиями можно "подавить" это решение, сделать так,
чтобы оно выпало. Для этого нужно, чтобы стержень как целое не имел
начальной скорости.
S=!
3=2
Рис. 159.
Граничные условия (11) имеют место также в задаче о колебаниях свободно
падающего стержня.
Несколько более интересен тот случай, когда стержень закреплен на одном
конце и свободен на другом.
При его рассмотрении мы воспользуемся тем, что дифференциальное уравнение
для всех случаев одно и то же. Здесь формы колебаний изображаются кусками
синусоид, такими, что на одном конце равно нулю смещение, а на другом -
его производная. Возможно, например (рис. 159), колебание в четверть
волны, период которого вдвое больше, чем если бы оба конца были
закреплены или оба свободны. Частоты колебаний здесь будут относиться,
как 1: 3 : 5 : 7 и т. д.
396
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Этот случай прямо сводится к тому, когда оба конца закреплены, но
стержень имеет удвоенную длину и находится в таком начальном состоянии,
что не возбуждаются четные обертоны. Если мы разрежем стержень
посередине, то каждая его половина будет продолжать колебаться так же,
как и вначале.
Такой способ получать из известной системы новые - довольно красивый и
далеко идущий.
Интересен случай кольца, когда граничные условия:
выражают периодичность решения. Из (6) и граничных условий (12) и (13)
следует, что
п ых . fox
11ри этом обе функции cos - и sin - в отдельности удовлетворяют граничным
условиям, и, следовательно, эти условия удовлетворены при любых Ci и С2.
Частоты будут вдвое больше (для данного номера обертона), чем тогда,
когда стержень разрезан. Каждой частоте соответствует бесконечное
множество различных распределений колебаний. Все они изображаются
линейными ком-
дг /г\ о о • Юд:
оинациями (о) линеино независимых функции cos - и sm - .
Интерес подобных вырожденных случаев был понят только после того, как
возникла волновая механика, где они часто встречаются.
Перейдем теперь к технически очень важному вопросу о нагруженной антенне
- антенне, на концах которой имеется сосредоточенная емкость или
индуктивность ("нагрузка"). Рассмотрим случай, когда концы заземлены
