Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
(рис. 163), то задача о напряжении совпадает с задачей о токе в том
случае, когда левый конец замкнут накоротко, а правый замкнут на емкость
(рис. 160). Здесь, если L0 очень велика, мы также получим приближенно для
наинизшей частоты формулу Томсона.
О
Рис. 161.
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
401
Случаи, когда на одном конце включена индуктивность, а на другом -
емкость (рис. 164), несколько более сложны; под краевые условия задачи
Штурма-Лиувилля они не подходят. Для нагруженной сис-
о
L,.
темы частоты собственных колебаний не относятся друг к другу как целые
числа. Общее решение есть рис ^
сумма таких колебаний, т. е.
сумма синусоидальных колебаний, периоды которых находятся в несоизмеримом
соотношении. Таким образом, решение не есть
И -1- п § L
*5 0 Т" Со J "
шшттш
Рис. 163. Рис. 164.
периодическая функция. Это функция почти-периодическая1. Из того, что
нагруженная антенна имеет, вообще говоря, почти-периодические собственные
колебания и что так же обстоит дело в'j общем случае неоднородной
распределенной системы, видно, насколько велико значение почти-
периодических функций.
¦'о
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
(911 1932 г.)
Дополнительные замечания о граничных условиях. Однопроводная
электрическая система. Понятие о решении Абрагама. Метод Даламбера.
Начальные и граничные условия. Скорость фронта волны в неоднородной
системе.
Вернемся к уравнению
дх2 д&
и разберем вопрос, который поставил А. А. Андронов.
Пусть при г = 0 и при х~1 концы свободны:
Й=°- "а
1 [См. 5-ю лекцию части I.]
36 Л. И. Мандельштам, том IV
402
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Тогда существует решение
у = const. (3)
Оно означает, что весь стержень смещен на постоянную величину. Этому
решению соответствует собственное значение >. - 0. Функция
у - at -+- Ь (4)
(а и Ь - постоянные) также удовлетворяет дифференциальному уравнению и
граничным условиям. Правда, мы не вправе рассматривать с помощью
уравнения (1) большие отклонения, но формально (4) есть решение, и мы
должны выяснить, что оно физически означает. Очевидно, в механическом
случае оно означает, что свободный стержень движется с постоянной
скоростью.
Перейдем к электрическому случаю. Напишем волновое уравнение для
напряжения:
d2V ___\ d'^V
дх2 с-' 'dt2 ' ¦ '
Если концы разомкнуты, то на обоих концах ток /-О, откуда следует, что и
? = 0. (6>
Тогда существует решение
V = const,
которое означает, что разность потенциалов между проводами постоянна
(провода заряжены). Но уравнение (5) при граничных условиях (6) имеет
также решение
V=ai-A-b, (7)
между тем такое нарастание потенциала при разомкнутых концах невозможно.
Таким образом, это решение не имеет физического смысла. В чем здесь дело?
Уравнение для у в механическом случае получается непосредственно как
уравнение движения. Уравнение для V в электрическом случае мы получаем
путем исключения / из уравнений:
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
403
вытекающих из уравнений Максвелла. Для исключения / мы должны были
продифференцировать уравнения (8). Сами уравнения (8) не допускают
решения (7) для разомкнутых концов (/ = 0 на концах), т. е. не все
решения уравнения (5) удовлетворяют уравнениям (8). Исключение I ввело
новое решение, так как еЩе
не означает, что /-0.
dx
Во? аналогичный пример. Имеется уравнение ^-0. Дифференцируя его,
получаем уравнение Не всякое решение вто-
рого уравнения является решением первого.
Рассмотрим еще один вопрос, связанный с граничными условиями.
Производная dyjdt характеризует изменение во времени величины у. Можно
следить либо за данной материальной точкой, либо за данной точкой
пространства. При этом dyjdt будет иметь разный смысл, так как через
данную точку пространства проходят различные материальные точки. Если
движется стержень, плотность р которого в различных местах различна, то
величина d^jdt в данной материальной точке равна нулю, а в данной точке
пространства отлична от нуля.
В законы Ньютона входят производные по времени для данной материальной
точки. При малых колебаниях разности между ними и производными в данной
точке пространства - второго порядка малости, и мы их отбрасываем.
В граничных условиях не совсем безразлично, что понимать под dy/dx:
производную в данной точке пространства или в данной точке материи.
Возьмем стержень, свободный на концах. Здесь следует считать, что dy/dx -
0 в тех точках стержня, которые в покоящемся состоянии находились при х =
0 и х=1. В данном случае это наиболее рациональное толкование граничных
условий. Но возьмем трубу с открытыми концами. Речь идет о колебаниях
воздуха в этой неподвижной трубе. Здесь граничные условия dyjdx - 0 нужно
относить к концам неподвижной стенки трубы, к данным точкам пространства.
В литературе этот вопрос рассмотрен либо неясно, либо неправильно.
Правда, из-за малости колебаний отличие между обеими производными обычно
очень мало.
26*
404
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Для струны теория, аналогичная той, которая была изложена для стержня,
