Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
382
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
называются характеристическими числами (или собственными значениями). Для
них существенно то дополнительное условие, что
а>0, [3>0,
p(x)>0, q (х) > О,
а в случае уравнения (13) еще и о^О,
Уравнения (11) с краевыми условиями (12) составляют проблему Штурма -
Лиувилля. Аналогичная проблема имеет место и в теории теплопроводности,
где особенно важны случаи ч=^0. Наши интересы в основном относятся к
случаю ч -0. Поскольку речь идет о частных решениях, можно не говорить о
начальных условиях.
Дифференциальное уравнение для <р можно записать иначе. Выражение,
стоящее в левой части, получается в результате того, что мы производим
над функцией <р некоторую линейную операцию. Мы можем написать его в виде
Z, (<р), где L - некоторый оператор:
?(?) = - *<7<Р-
Можно далее отнести q(x) в левую часть. Тогда уравнение (11) напишется
так:
?(<р)=-
причем оператор L - линейный, т. е.
L (?i -+- <Рг) - L l?i) ~+" L (?г) •
Задача о нахождении чисел л часто формулируется так: нужно найти
собственные значения оператора L. Все задачи волновой механики сводятся к
определению собственных чисел и собственных функций тех или иных линейных
операторов.
Система линейных алгебраических уравнений также может быть записана с
помощью оператора. Пусть у - совокупность п чисел, А - оператор (ему
соответствует некоторая матрица). Тогда
Ау - - \у
есть задача о решении системы линейных уравнений с параметром л. Такова
задача о нахождении собственных частот дискретной системы.
Операторная интерпретация задач о собственных значениях получила в
настоящее время чрезвычайно широкое распространение. Возникла новая
отрасль математики - операторное исчисление.
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
383
Оно дает общие методы нахождения собственных значений и собственных
функций. Мы рассматриваем очень частный случай такой задачи.
Продолжим наше исследование. Каков характер движения во времени?
Если л<0, то решения уравнения (10) будут вида е±у/|Х|'; если же л > 0,
то решения этих уравнений будут содержать косинус и синус. Таким образом,
вопрос о том, каков знак характеристического числа задачи Штурма -
Лиувилля, имеет существенное значение. Оказывается, что эти
характеристические числа всегда положительны, за исключением одного
случая, когда одно из них равно нулю. В этом состоит первая основная
теорема о собственных числах задачи Штурма - Лиувилля. Мы сегодня не
будем се доказывать.
Отбросим пока случай, когда имеется характеристическое число Х = 0, и
примем, что все Х)>0. Уравнение (10) имеет для данного частного значения
л общее решение:
ty - A cos <of -+- В sin wt,
причем
ы2 = X.
Соответствующее движение будет
у = <р (л) (A cos о>? jBsin at).
Каждому значению X отвечает частное решение такого вида - гармоническое
колебание, частота которого равна квадратному корню из взятого
характеристического значения рассматриваемой проблемы Штурма-Лиувилля;
соответствующее ему о (х) дает форму колебания, т. е. распределение
амплитуды по л. Все возможные решения соответствуют гармоническим
колебаниям с определенным периодом и определенной формой.
В системе из дискретных масс было возможно некоторое конечное число N
гармонических колебаний с соответствующими амплитудами, меняющимися от
точки к точке*. Здесь, как утверждает вторая теорема о собственных
значениях задачи Штурма - Лиувилля, имеется бесконечное множество
характеристических чисел: наша система способна колебаться с бесконечным
набором возможных частот (существенное отличие от дискретной системы),
1 [См. 30-ю лекцию части I.]
384
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
которые образуют не континуум, а счетное множество. Это множество не
имеет точек сгущения в конечном интервале: с ростом номера частота
неограниченно растет. Можно задать номер частоты так, что она будет как
угодно велика.
Эту вторую теорему мы тоже не будем сегодня доказывать1. Заметим пока
только следующее. Математическая теория строится так: сначала ставится
вопрос о том, существуют ли характеристические числа, и доказывается, что
всегда существует хотя бы одно, а затем уже из этого выводится, что их
существует бесчисленное множество.
Пусть мы нашли все \ и все Ф,-(х), т. е. нашли Х2,... и ф^х), ф2(х),...
Эти решения удовлетворяют дифференциальному уравнению и граничным
условиям. Но чтобы решить поставленную задачу, нужно удовлетворить еще
начальным условиям (4) и (5). Можем ли мы быть уверены, что всегда
удастся припасовать решение так, чтобы при ? = 0 у обращалось в /(х), а
dy/dt в F(x)?
В случае дискретных систем вопрос ставится совершенно так же. Мы имели
частные решения вида
{к) (к) . (к) (к) .
у - a cos <о;?, yt - a sin <о.?.
Общее решение для &-той координаты было
у{к = 2 а-к) (A-cos of -+- sin o.t ) (14)
и требовалось, чтобы при ? = 0 и dy^jdt принимали для каж-
дого к заданные значения. Эти начальные условия давали для А,-и для В{ по
N линейных уравнений. Задача припасования ряда (14) к начальным условиям
