Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
в случае индуктивности (массы) на конце, граничное условие
имеет вид, отличный от (9).
Если конденсатор включен на конце л = 0, мы получим, рассуждая так же,
как для конца х - Ь,
<10>
(знак здесь другой).
24*
372
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Граничные условия (9) и (10) являются более общими, чем (4) или (5). В
частности, они в себя включают случаи, рассмотренные ранее.
Действительно, пусть на конце х-0 С0 = 0. Чтобы dljdx оставалось
конечным, необходимо /((),?) = 0. Это - случай разомкнутого конца. Пусть
С0=оо. Здесь должно быть dl(0,t)/dx = 0. Это - случай заземленного конца.
Таким образом, мы охватим все указанные случаи, если составим
окончательно такую схему:
(11а)
^ Щ <°A - Т = to V,t) (при t> 0); (116)
*(*,о)=/(*), (Пв)
Наша задача-математическая обработка этой системы уравнений. В нее входят
параметры р(х), q(x), a, р. По своему физическому смыслу параметры р и q
во всем интервале значений х не равны нулю и положительны. Этому
соответствует в дискретном случае положительная дефинитность квадратичных
форм Т и U.
Постоянные аир равны в электрическом случае:
а = С/С0, P = C/Q.
По своему физическому смыслу они также существенно положительны.
Условия положительности величин р, q, а и р- не мелочь. Это
предположение, необходимое для вывода ряда фундаментальных теорем,
которые мы далее докажем. В частности, мы предполагаем, что р и q нигде
не равны нулю. В случае, если это условие не выполнено, возникает другая
задача, математические рассуждения будут другие.
Итак, будем исследовать математически нашу схему (11).
Пусть мы нашли какое-нибудь решение y(x,t), удовлетворяющее этой схеме.
Можем ли мы утверждать, что наша физическая проблема решена?
Можно доказать, что условия (11) достаточны для однозначного определения
функции у. Поэтому, если найдено какое-то решение системы (11), то
найдено правильное решение поставленной задачи. Это доказывается с
помощью общего приема, и притом довольно легко. Доказательство имеет
прямой физический смысл.
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
373
Вернемся к уравнениям (2) и (3). Умножая первое на V, второе- на / и
складывая, имеем:
() / г|/\ ICV* LP\
Проинтегрируем это равенство по х между какими-нибудь пределами Xj и х2:
<12>
Xi
Интеграл выражает полную электрическую и магнитную энергию всего взятого
куска провода хг^х ^ х2. Таким образом, справа написано приращение за
единицу времени полной энергии этого куска. Мы останемся в согласии с
законом сохранения энергии, если предположим, что в любой точке IV есть
количество энергии, проходящее в единицу времени через соответствующую
плоскость х = const. Уравнение (12) получает тогда такое толкование:
увеличение энергии куска (хих2) равно разности вошедшей и вышедшей
энергии. Это - частный случай теоремы Пойнтинга: поток энергии выражается
здесь произведением тока на напряжение.
Составим для механического случая уравнения, аналогичные смешанным
уравнениям для / и V. Напишем:
?=?. &=+• оз)
Уравнения (11а) и (13) связывают "риф соотношениями:
йф йср д , , йф
дх dt ' дх Ч dt '
Умножив первое уравнение на <р, второе - на - Ф и сложив, получаем:
Интегрируя это от 0 до /, находим далее:
ду дд | / _ _й_ dp_ /ду\2 ч_ (<>yY\i (14)
pdxdt\o dt J)2 \йлу 2 \dt) \
о
Мы вывели эту зависимость независимо от какой-либо физической
интерпретации: это - математическое соотношение. Но легко вычи-
374
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
тать физический смысл входящих в него выражений. Действительно, справа
стоит производная по времени от суммы потенциальной и кинетической
энергии стержня. Следовательно,
-КЙ5? (15)
- это количество энергии, проходящей за единицу времени через сечение в
положительном направлении х. Можно рассматривать это выражение как поток
энергии.
--------------------------------------------
Рис. 151.
Из выражения (15) вытекают интересные следствия.
Пусть мы толкаем стержнем груз (рис. 151). Обратим внимание на знаки.
Стержень сжимается, причем справа - меньше,
чем слева (ду/дх<С. 0); со временем сжатие
нарастает, т. е. ско-
рость dy!dtP> 0; значит, поток энергии положителен; он течет слева
направо. Пусть теперь мы тянем груз с помощью прикрепленного к нему
стержня. Тогда ду/дх меняет
знак, но dy/dt тоже меняет знак. Поток энергии имеет, следовательно, то
же направление, что и в первом случае, т. е. энергия течет теперь в
направлении, обратном движению стержня. Красивый пример -поток энергии в
ременной передаче (рис. 152). Работающая (верхняя) часть ремня движется в
одном направлении, а поток энергии по ремню - в обратном направлении.
Вернемся к математике, к вопросу об однозначности решений. Пусть yt и у2
- две функции, удовлетворяющие схеме (11). Образуем новую функцию
У = У1-У-2-
Направление потока энергии
Рис. 152.
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
375
Функция у тоже удовлетворяет дифференциальному уравнению (11а), так как
оно линейно и однородно. Поскольку граничные условия (11б) тоже линейны и
однородны, у удовлетворяет и гра ничным условиям. Но как обстоит дело с
