Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
совершенно другая. Требования (21) относятся не к одной точке, а к двум.
Если 1 задано и заданы условия вида (21) для двух значений х, то, вообще
говоря, не существует требуемого решения. Типичная особенность такой
задачи как раз и заключается в том, что, вообще говоря, при фиксированном
уравнении (20) она не имеет решения.
Нам приходит на помощь то обстоятельство, что /¦ заранее не определено.
Оказывается, что при положительных a, (i, р и q существуют такие значения
1, при которых задача (20), (21) имеет решение. Вообще говоря, таких
значений - бесконечное число, они образуют счетное множество. Задача и
заключается в нахождении таких значений 1ив нахождении соответствующих им
функций ф (х).
Итак нужно:
1) найти указанные значения они называются характеристическими или
собственными числами краевой задачи;
2) при каждом таком значении 1 решить уравнение (20) с условиями (21), т.
е. найти удовлетворяющие им функции; они называ-
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
379
ются фундаментальными или собственными функциями данной краевой задачи.
Мы проделаем это на простых примерах, взяв р и q постоянными, и получим
при этом в качестве решений простые, хорошо известные функции. В самом
общем случае при заданных р и q, зависящих от х, мы не умеем
интегрировать уравнение (20): нет таких обычных "легких11 функций,
которые бы ему удовлетворяли.
Далее возникает вторая фундаментальная задача-приспособить решение к
заданным начальным условиям. Она сводится к очень конкретной и
определенной математической операции - к разложению данной функции,
удовлетворяющей определенным условиям, в ряд по собственным
(фундаментальным) функциям данной задачи. Зто - одна из наиболее изящных
задач математической физики.
Уравнение, сходное с уравнением Шрёдингера. Периодические краевые
условия. Собвтвенные числа оператора. Основные свойства собственных чисел
задачи Штурма-Лиувилля. Вопрос о разложимости функции в ряд по
собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Вопрос сходимости.
В прошлый раз мы говорили о том, как можно подойти к решению нашей
фундаментальной задачи, включающей в себя дифференциальное уравнение,
краевые и начальные условия:
Мы получим, таким образом, ряд частных решений нашей задачи.
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
{13/XII 1931 г.)
(1)
(2)
(3)
(4)
у(%, 0) = /(*);
(5)
380
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
При этом мы не рассматриваем трения, выделения теплоты. Кроме того, мы
исследуем собственные колебания, т. е. предполагаем, что нет внешних сил
(мы видели, что введение внешних сил сводится к добавлению члена вида
f(x, t) в левой части дифференциального уравнения).
Рассматриваемая задача интересна и потому, что близка к тем, которые
приходится решать в волновой механике.
Возьмем такую модель: струна прикреплена к упругой мембране, не имеющей
массы (рис. 153). На струну действует тогда
Мембрана
сила, пропорциональная ее отклонению у, т. е. квазиупругая сила.
Уравнение колебаний струны будет
-°(х)9 + тх(рд?)="Ч%(6)
где ч(х)- коэффициент упругости мембраны.
Уравнение Шрёдингера примыкает к уравнению (6) теснее, чем к уравнению
(1). Мы не будем рассматривать уравнения типа (6), так как не стоит
утяжелять наши рассуждения, но большинство наших выводов будет применимо
и к уравнениям вида (6).
Пусть мы имеем не совсем прямолинейный стержень. Если кривизна мала, т.
е. d/R^l, где d-толщина стержня, R - радиус кривизны, и если х -
расстояние по оси стержня, то наши рассуждения остаются в силе, уравнение
будет таким же, как и для прямолинейного стержня.
Предположим теперь, что стержень сомкнулся в кольцо (рис. 154).
Электрический аналог этого случая - лехеровы провода, образующие два
параллельных кольца, одно над другим (провода замкнуты). Каковы в этом
случае краевые условия?
Здесь г = 0 и х - 1-это одна и та же точка. Естественно поэтому
требовать, чтобы у и ду/дх были одинаковы для х = 0 и для л'=/. Таким
образом, в этом случае мы имеем существенно
ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
381
иные краевые условия, выражающие требование периодичности у и dyjdx по х
с периодом /:
Теорему об однозначности решения можно и в этом случае доказать точно так
же, как для прежних граничных условий (2) и (3). Но характер движения при
условиях (7) и (8) существенно другой.
Вернемся к уравнению (1). В прошлый раз мы писали:
Уравнения в полных производных, получающиеся после разделения переменных,
таковы:
(X- постоянная, положительная или отрицательная - это пока безразлично),
причем
Если проделать то же самое для более общего случая (6), то получится
вместо (11) уравнение
У (0 ,t) = y{l,t);
dy(0,t)__dg (/, t)'
(8)
(7)
(9)
При этом переменные разделяют получаем два уравнения в полн изводных.
Метод разделения ных - один из самых мощных спосоиов решения уравнений в
частных производных.
Рис. 154.
(10)
(П)
(12)
(13)
Уравнение (10) сразу решается. В нем X должно быть таким, чтобы система
(11), (12) удовлетворялась. Те значения параметра X, для которых система
(11), (12) имеет решение, отличное от нуля,
