Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
где ф- обычный потенциал:
ф =
(7)
1
rotH0 = 0, divH0 = 0,
(8)
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
361
Я утверждаю, однако, что, зная <р, мы легко найдем Н0, положив
Легко видеть, что Н0 удовлетворяет также условиям на поверхности
проводников. Заметим, что скалярное произведение (Ео, Н0> равно нулю, т.
е. Е0 ± Н0. Но мы доказали, что Е0 перпендикулярно к поверхности
проводника. Следовательно, Н0 тангенциально к этой поверхности.
Не трудно далее убедиться, что Е0 и Н0 по абсолютной величине равны друг
другу. На основании (6) и (9) имеем:
т. е. выполнено условие (8).
В только что решенной нами задаче о стационарном токе можно ввести
понятие индуктивности на единицу длины, соответственно понятию емкости на
единицу длины в электростатической задаче. Одно из определений
самоиндукции есть
тт О 14 iX 14 iir
¦'¦"Оу flOz ft •
В самом деле, при этом
(9)
div Н0 = = о
и Ох дд dz
И
rotH0 = 0,
так как
Следовательно, если
(а это условие у нас выполнено), то и
362
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
где слева стоит поток магнитной индукции через контур, по которому течет
ток I. Возьмем наш случай. Так как Н пропорционально /, то поток
магнитной индукции, проходящий через поверх-I ^ ность ABCD (рис.
146), где AB=CD - l, мы мо-
жем представить в таком виде:
Рис. 146.
y.j HJS=±I,
•индуктивность на единицу
где L по определению ¦ длины.
Заменяя Н через Н0, а интеграл по поверхности- интегралом по пути от
провода / до провода 2, получаем:
, j •
L
с
На основании соотношения между Н0 и Е0 можно написать:
откуда
L - у- J E()sds.
(10)
Из сравнения (7) и (10) получается:
CL
--VJ:
(П)
Это очень важное соотношение. L и С зависят от расположения и формы
проводников, но их произведение зависит только от свойств среды, в
которой находятся проводники. Для воздуха имеем с большой точностью
CL = 1.
О емкости и индуктивности на единицу длины здесь можно говорить благодаря
тому, что электрическое и магнитное поля перпендикулярны оси х; поэтому
как в электрическом, так и в магнитном поле можно выделить отдельные
слои.
До сих пор ток и заряд у нас были постоянны. Пусть теперь
1=1 (л, t), ex = ei(x, t).
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
363
Я утверждаю, что картина поля такова: Е и Н остаются в плоскостях,
перпендикулярных оси х (электрическое и магнитное поля попрежнему не
имеют л-компонент), и в каждой такой плоскости электрическое и магнитное
поле связаны с ел и / так же, как в статическом случае. При этом величины
полей не зависят от х. До сих пор электростатическая и "токовая" задачи
были независимы. Я утверждаю, что теперь между ними существует
определенная связь.
Докажем эти утверждения.
Ясно, что при только что описанной картине с дивергенциями все остается в
порядке, так как попрежнему членов с д/дх в них не будет, а члены с djdy
и djdz останутся прежними. Посмотрим, как обстоит дело с роторами. Имеем:
, п "Е
crotH = s 3- .
at
Для произвольных скаляра <р и вектора А имеем:
rot <рА = 9 rot А -+- [v?, А]
(эту общую формулу легко вывести). Поэтому
rot/Н0 =/rot Н0-ь [у/, Н0].
Но rotH0 = 0, а V/ имеет только компоненту по оси х, равную по величине
д1/дх. Векторное произведение [у/, Н0] имеет направление вектора Е0 (это
ясно из рассмотрения направлений векторов
Е0 и Н0) и равно по величине Следовательно,
crotH = -gE0.
Так как
ЙЕ "йе | Е(,
? __ ____
и Е0 не зависит от t, мы можем написать первое уравнение Максвелла в
таком виде:
д/ р _,!('' р
- з/ до-
получается следующий результат: чтобы удовлетворялось пе вое уравнение
Максвелла, должно быть
й/ дв1
дх dt
364
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ, часть вторая
Аналогично доказывается, что второе уравнение Максвелла удовлетворяется,
если
дег д!_
дх ~ с2 dt '
Таким образом, мы получим точное, строгое решение нашей полной задачи,
если возьмем:
Е = " Е0, Н 4 Н ,
где Е" и Н0 - решения статических задач для соответствующего х,. а ех и I
удовлетворяют уравнениям (12) и (13). Единственная трудность при решении
задачи состоит в том, чтобы найти <р...
В первую очередь нас интересуют токи. Дифференцируя уравнения (12) и (13)
и исключая е19 получаем:
?|Л д21 _ д21
с2 dt2 дх2 '
или
2 т дч
а дх2 - dt2 '
где
а = 1^ •
Для рассмотренного случая мы совершенно строго получили
волновое уравнение. Скорость распространения равна а. Она
не зависит от расстояния между проводниками; чтобы знать скорость
распространения волн, не нужно знать в отдельности L и С. Но если нужно
знать энергию, то необходимо ввести емкость и индуктивность на единицу
длины.
На основании (11) можно переписать уравнения (12) и (13) в таком виде:
(16)-
Введем посредством соотношения
e, = CV
д! _ дв1
dx dt '
1 дех _ L dl С dx с2 dt
(14}
(15)
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
365
величину V. Тогда уравнения (16) принимают вид
д1 _г дУ
дх~~ dt ' дУ L дГ
дх с* ot
(17)
Мы пришли к тем же уравнениям, что и в прошлый раз, но тогда способ их
получения был явно неправильный. Мы видим теперь, что понятие разности
потенциалов в некотором отношении сохраняет здесь свой смысл.
