Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Как уже говорилось, понятие разности потенциалов, вообще
говоря, неприменимо к переменным полям, потому что в таких
2
полях интеграл jEsds, взятый по различным путям между одними
и теми же точками проводов, различен. Но в данном случае можно
между двумя любыми точками проводников, имеет одинаковое значение. Это-
пути, лежащие в плоскостях, перпендикулярных направлению проводов.
В рассмотренном нами случае можно говорить о емкости и индуктивности на
единицу длины, рассматривая энергию отдельных слоев, перпендикулярных
направлению проводов. Это имеет смысл лишь потому, что Е и Н лежат в
плоскостях, перпендикулярных проводам, и в этих плоскостях поля
квазистатические. Мы выяснили в итоге, с какими условиями связана
возможность простого, до-максвелловского рассмотрения.
Если взять лехерову систему очень больших размеров, то мы имеем право
пользоваться в качестве приближения теорией, относящейся к бесконечно
длинной системе. Но как быть в случае простой антенны? Изложенная теория
почти справедлива для многих практически важных случаев, например для
горизонтальной антенны, находящейся на расстоянии от земли, малом по
сравнению с ее длиной. Остается вопрос, как обстоит дело в случае антенны
в виде так называемого открытого проводника (вибратора)? Этот вопрос
требует особого рассмотрения.
Мы убедились, что ряд важнейших физических проблем приводит к одномерному
волновому уравнению. Нам нужно теперь заняться исследованием колебаний
одномерных распределенных
2
выделить класс путей такой, что
взятый по любому из них
366
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
систем. Нам нужно вычитать из этих уравнений ответы на ряд физических
вопросов.
Начнем с рассмотрения несколько более сложного уравнения:
или, считая, что q - константа, и обозначая Е - р(х),
<*>$-• (18)
Теория краевых задач и теория интегральных уравнений развивались на этом
сравнительно простом примере.
Если р и р - постоянны, то, обозначив
a2 = f> (19)
имеем:
2°'гУ д'гу
а'
дх2 dt2 "
(20)
Уравнение системы с одной степенью свободы имеет целый класс решений,
содержащий две произвольные постоянные. Решения уравнений в частных
производных образуют еще гораздо более широкий класс. Чтобы сделать
задачу определенной, нужно прежде всего задать краевые условия, вовсе не
связанные с данным уравнением. Само уравнение лишь в очень малой степени
задает вид решения.
Уравнению с постоянными р и о, т. е. уравнению (20), удовлетворяет всякая
функция вида
р = f1{x-at)-+-f2{x-t-at), (21)
где /, и /2 - совершенно произвольные функции. Это - чрезвычайно общее
решение. Оно почти ничего не говорит о характере процесса.
Но физика ставит вполне определенные задачи, причем здесь возможны
гораздо более разнообразные постановки задач, чем в случае
сосредоточенных систем, например, такие:
1. Как побежит удар по бесконечному стержню?
2. Стержень ограничен (нужно указать при этом физические условия на
концах; они могут быть, например, закреплены). Требуется найти колебание,
возникающее при заданных начальных условиях.
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
367
Разнообразие физических задач, возникающих в случае распределенных
систем, сказывается в следующем.
1. В характере объекта; например, в том, каковы условия на концах
стержня; если они закреплены, то
Ух = о~0) yx=i~0 при t^O
(I - длина стержня).
2. В начальных условиях; в случае стержня начальные условия состоят в
задании распределения отклонения и скорости по всему стержню в начальный
момент:
У (х, 0) = f(x), = р(х).
Здесь f(x)aF(x)-заданные функции.
В случае стержня, закрепленного на концах, задача ставится так: нужно
найти такую функцию у(х, t), которая удовлетворяет:
1) уравнению
р(*)^; (1)
2) условиям на концах
#ж = о=0, yx^i - 0 (00); (2)
3) начальному условию
У (х, 0) = /(х) (0 < х < /); (3)
4) начальному условию
d-^- = F(x) (0 <*</). (4)
Физическая система определена только тогда, когда, кроме
дифференциального уравнения, заданы условия на концах. Кроме того, мы
должны рассматривать определенный опыт, - он определяется начальными
условиями.
Можно ли найти такую функцию у (х, t), которая удовлетворяет условиям
(1)-(4)? Оказывается, что можно и что эта функция- единственная. Если мы
нашли какое-то решение, то мы нашли то, что нужно. Это очень облегчает
дело. Доказательство единственности решения имеет поэтому очень важное
значение.
368
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ, часть вторая
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
{9/XII 1931 г.)
Некоторые замечания о неоднородной электрической задаче. Различные
краевые условия. Доказательство единственности решения и его связь с
законом сохранения энергии. Способ Бернулли: разделение переменных.
Постановка краевой задачи. Понятие о собственных значениях и собственных
функциях.
Мы рассмотрели физическую сторону вопросов о колебаниях распределенных
систем (механических и электрических) и установили, к каким типам
уравнений приводят эти вопросы (в однородных задачах). В общем случае
дело сводится к уравнениям типа
