Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Энергия в некотором объеме V есть
Часто, излагая уравнение Максвелла, ничего не говорят об энергии. Но, по
моему мнению, переход от уравнений Максвелла к другим явлениям дается
именно этой зависимостью - зависимостью энергии от Е и Н. Без нее вся
теория слепа, так как на опыте мы исследуем электрические явления через
неэлектрические (механические, тепловые и т. п.). Переход от одних к
другим совершается с помощью выражения энергии.
Рассмотрим случай, когда поле статическое.
Пусть Е и Н не зависят от времени, т. е.
В этом случае уравнения (20) предыдущей лекции распадаются на две группы:
одну для Е, другую для Н. Получаются две совершенно независимые задачи:
электростатическая и магнитостатическая. Если же поля переменные, то
сразу получается связь между электрическими и магнитными величинами.
Основную задачу мы решим сразу, если будут решены обе стационарные
(статические) задачи.
Вместо электрического поля, связанного с зарядом ег, и магнитного поля,
связанного с током /, мы введем величины:
1у1ы делаем это для того, чтобы лучше выявить связь между обеими
стационарными задачами. В переменных Е0, Н0 уравнения получают простое
написание. Заметим прежде всего, что
W=^P^W)dV.
(3)
358
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Начнем с электростатической задачи. В этой задаче
rotE = 0, divE=0. (4)
Возьмем сперва хорошо известный случай концентрического кабеля (рис.
144). (Практически нас больше интересует случай двух параллельных
проводов. Он будет подробно разобран на семинаре).
В кабеле поле радиально, причем, как известно из элементарных курсов,
Е = - .
?Г
Так как мы рассматриваем электростатический случай, то можно ввести
потенциал
Подсчитаем емкость на единицу длины кабеля:
е1 _ (r)_____________
Ф1 - Фг 2 In (r2/>i)
Энергия находится в слое между металлическими цилиндрами и равна (на
единицу длины)
С этим выражением связана одна очень важная вещь, которая имеет
существенное значение и для наших колебательных задач.
Попробуем перейти к случаю одного бесконечного заряженного цилиндра.
Пусть г2^- оо. Тогда
С^О, IV-> со.
Итак, если мы имеем дело с одним бесконечным проводом, то из задачи о
концентрическом кабеле мы для него ничего не получим,
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
359
мы приходим к нелепости. Это означает, что в случае бесконечного провода
вторая обкладка никогда не бывает безразлична.
Возьмем для сравнения случай концентрических шаров с радиусами rj и г2
(рис. 145). Здесь
Если г2-> со, то емкость стремится к гг. В этом и только в этом смысле
говорят о емкости одного проводника. Это понятие имеет смысл только для
проводника, конечного во всех направлениях. Для одного бесконечного
цилиндра емкости не существует. Поэтому говорить о емкости на единицу
длины одного бесконечно длинного проводника - абсурд. Если вторая
обкладка находится на расстоянии, не очень большом по отношению к длине
цилиндрического проводника, ее влияние существенно.
Таким образом, мы должны заранее сказать, что нельзя строить теорию для
одного бесконечно длинного провода. Но если у нас л проводов и сумма их
зарядов равна нулю, то все эти затруднения отпадают. Мы будем
рассматривать именно тот случай, когда
(е, - заряд г-го провода на единицу длины). Можно считать, что
симметричная лехерова система удовлетворяет этому условию, если <///<^1
(d-расстояние между проводами, I-их длина) и если расстояние до земли
очень велико. Но если она несимметрична, условие (5) не выполнено. При
измерениях с такой лехеро-вой системой начинаются всякие неприятности, и
мы видим теперь, как это связано со всей теорией.
Пусть ось х направлена вдоль проводов (рис. 141). Тогда все величины,
входящие в .наши уравнения, не зависят от х.
Будем искать функцию <р, такую, что
емкость
заряд
разность потенциалов
гг - п
2е, = 0
(5)
Потребуем кроме того, чтобы <р была постоянна на каждом проводе и чтобы
на первом проводе было
360
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
а на втором проводе
Если такая функция найдена, то, взяв
Е0 = -gradip,
(6)
мы получим поле Е0, удовлетворяющее всем поставленным условиям. В самом
деле, так как
а <р от х не зависит, то Е0 перпендикулярно оси х. Далее, rot Е0 равен
нулю, так как Е0 есть градиент скаляра; div Е0 равна нулю в силу
дифференциального уравнения для 9. Остается еще условие, что Е0
перпендикулярно к проводнику. Но если 9 на проводнике постоянно, то grad
9 перпендикулярен к его поверхности.
Для статического случая можно определить емкость С на единицу длины.
Определяется она так:
Мы выразили ее через Е0.
Я думаю, что все это известно, и хотел лишь написать, что это имеет место
в общем случае.
Менее известна соответствующая магнитная задача. Чем она отличается от
электрической? Здесь, аналогично (4),
но в отличие от электростатики - и это, на первый взгляд, кажется немного
затруднительным-здесь тангенциальные слагающие на проводниках отличны от
нуля: на первом проводнике
д<р
17 '
Далее
Е = Е0, Е = - grad ф,
