Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
температур - необратимый процесс, вызывающий потерю свободной энергии и
затухание волны. На это указывали Релей и Стокс.
Перейдем к вопросу о колебаниях в распределенных электрических системах.
Он столь же важен для нас, как вопрос о колебаниях в упругой сплошной
среде.
Постараемся установить уравнения для колебаний тока в простом проводе.
Через сечение х втекло к моменту t количество электричества Q(x); через
сечение x-i-dx вытекло к этому моменту количество электричества Q (х -+•
dx); ток через какое-нибудь сечение
Количество электричества, застрявшее в элементе dx, равно
Пусть Cdx - емкость куска dx (С-емкость на единицу длины), V-его
потенциал. Тогда
(13)
Q(x)-Q(x-*-dx) = - d^dx.
д? dx = Cdx ¦ V,
(И)
1 [Ср. 10-ю и 11-ю лекции части I].
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
349
или, если мы возьмем производную по времени от обеих частей и подставим
(13),
-? = С%- <15>
Это - первое уравнение.
По закону Ома
Rdx ¦ /=-- Ldx ^ . (16)
Здесь R - сопротивление, L - индуктивность на единицу длины. Первый член
правой части - разность потенциалов концов куска dx, второй -
электродвижущая сила самоиндукции в этом куске.
Мы не рассматривали трения в упругой среде. Соответственно и здесь
пренебрежем сопротивлением. Тогда мы получаем из (16):
ду- I д/ (лп\
Таково второе уравнение.
Величины / и V удовлетворяют двум уравнениям: (15) и (17), подобно двум
уравнениям (8) и (10) для р и н. Из них легко получить
_д_ /1 dl \ т дЧ
дх
¦№) = L%- <*>
Этим уравнением часто пользуются для антенн. Если С = const, то получаем:
= (19)
LC дхг dfi
Уравнение (18) аналогично уравнению стержня с переменным модулем
упругости1.
<Из того, что я сейчас сказал, я ни слова не понимаю, потому что
пользовался неправильными терминами.
У нас получается уравнение телеграфистов, с которым все работают, которое
справедливо и для антенны. Но оправдать то, что мы сделали, я не сумею.
Посмотрим, что же мы сделали нехорошего.
1 [Сохранился текст, написанный Л. И. Мандельштамом, в близком
соответствии с которым им была прочитана часть лекции, содержащая критику
изложенного выше вывода уравнения антенны. Далее приводится в угловых
скобках (с небольшой редакционной обработкой) этот текст Л. И.
Мандельштама. Все подчеркивания принадлежат Л. И. Мандельштаму.]
350
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Я считаю правильным такой путь: взять какой-нибудь простой случай
распространения электромагнитных волн в проводах, который действительно
поддается настоящему, хорошему, строгому исследованию, - исследовать его
и установить, что там делается. Тогда мы сможем понять, почему
оказывается, что для одного простого случая, который практически
существенен, можно пользоваться уравнением (19).
Этот путь - довольно длинный, но без него обойтись нельзя. Техники
работают с уравнением (18) и получают при этом хорошие результаты, но вы
сейчас увидите, что ему пока еще нет никакого оправдания.
Я говорил о потенциале. Но при переменных полях понятие о потенциале
отпадает.
Первое уравнение Максвелла гласит:
ds
дЕ ,г
¦у ¦=-rotЕ.
1 at
Пусть поле постоянно, т. е. нет зависимости от t. Тогда dUldt = 0, и
первое уравнение Максвелла обращается в следующее:
Рис. 140. rotE=0.
Поле не имеет ротации. Оно может быть выражено как градиент некоторого
скаляра. Этот скаляр мы называем потенциалом. Это понятие можно ввести
благодаря тому, что rotE = 0; при этом JEsds между двумя точками А и В
(рис. 140) не зависит от пути. Именно поэтому можно величину интеграла
между этими двумя точками обозначить как разность потенциалов между этими
двумя точками. Как только J Esds зависит от пути интеграции (а при всяком
нестатическом поле дело обстоит, вообще говоря, именно так), понятие
потенциала отпадает, - такой величины не существует. Написанный нами
интеграл зависит не только от того, между какими точками вы его берете;
он зависит также от того, по какому пути вы его берете. Общего понятия
потенциала не существует.
Ошибка, связанная с понятием потенциала, часто делается и в случае
обычного замкнутого конденсатора. Но там можно обойти указанную здесь
трудность. Это связано с тем, что все электрическое поле практически
сосредоточено в самом конденсаторе. Можно доказать, что внутри
конденсатора все пути приводят
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
351
практически к одному и тому же значению J Esds. В случае конденсатора
можно указать класс путей, которые ведут при вычислении /E3ds к одному и
тому же результату, и эту величину можно назвать разностью потенциалов
между обкладками конденсатора. В том случае, который нас теперь
интересует, такого сосредоточения поля нет. Это мы должны заметить прежде
всего. Но это не самое важное.
Что такое емкость элемента длины, что такое индуктивность элемента длины
? Эти выражения лишены пока всякого смысла. Что мы имеем в виду, когда
говорим об индуктивности катушки? Одно из определений индуктивности L
таково: если через катушку пропускается ток /, то магнитная энергия равна
