Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 109

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 160 >> Следующая

Р §7Р (та, v) • u = pf - \р, р = р(р),
(5)
-^--t-div pu = 0.
Применим их сначала к плоской задаче: будем считать, что и, р и р зависят
только от х и что вектор и имеет только одну ком-
1 [Формула (10) 1-й лекции относилась к скаляру.J
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
345
поненту, отличную от нуля, - компоненту по х. Уравнения (5) принимают вид
да да , др , .
= Р = Р( Р)>
др дра
(6)
Это очень неприятные уравнения, так как они нелинейны. Решить их совсем
нелегко. Эти уравнения послужили исходной точкой для работ Римана, в
которых исследуется распространение разрывов волн.
Мы ограничимся малыми колебаниями. Напишем:
Р = Ро SP
и, считая, что и и малы, пренебрежем величинами второго порядка
относительно и и Sp. Тогда уравнения существенно упростятся. Будем
считать кроме того, что внешних (объемных) сил нет. Из первых двух
уравнений (6) имеем:
Р = Р(Р)> (?)
а из третьего
др да ,0.
dt - Ро дх '
Мы хотим получить два уравнения с двумя неизвестными и и р. Для этого
нужно исключить р с помощью второго уравнения (7). Продифференцируем его:
<>Р_ др_. /Q\
дх др дх ' '
С точностью до величин второго порядка, подставляя (9) в (7), имеем:
?odt = ~{dp)^f;ij- (10)
В итоге мы получили два уравнения для и и р - уравнения (8) и (10). Мы
сравним их потом с уравнениями для электрического случая.
Исключая и из (8) и (10), получаем:
2 д*р а2р (л 1.
а дх2 д& ' ^ ^
где
(12>
346
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Совершенно такое же уравнение получится для и при исключении р.
Что такое здесь а? Это требует особого рассмотрения.
Предположим, например, что мы осуществили очень короткий сигнал.
Оказывается, что скорость такого сигнала - отношение пройденного им пути
к времени - будет равна а.
Понятие скорости, которым мы только что воспользовались,
взято из механики материальных тел. В основе понятия скорости тела лежит
то, что можно отождествить тело при t = t0 и при t - tx. Скорость
определяется как расстояние х1 - л:0, пройденное телом, деленное на время
tx- tQ. Но что назвать скоростью тела, если при движении оно разлетается
на куски?
Можно ли пользоваться понятием скорости, когда мы имеем дело с сигналом,
с возмущением? Возмущение распространяется во все стороны. Созданное в
некотором месте возмущение (например, сгущение) изменяется при
распространении. Возмущение не остается подобным тому, которое выпущено
при t = t0. Если в начале воз-мущение охватывает только малый объем, то
через некоторое время будет существовать возмущенный слой с определенным
внешним радиусом (рис. 139). Здесь можно ввести разные понятия скорости.
Рассматривая время между прохождением фронта волны (внешней границы
возмущения) через точку А и точку В, можно ввести понятие скорости
фронта. Но можно дать также иные определения скорости, ввести, например,
понятие групповой скорости. Величина а, входящая в наше уравнение (11),
может быть определена из опыта как
а = Ъ,
где v - частота; X - длина волны.
Вот как здесь происходило историческое развитие.
Первым, кто теоретически исследовал скорость звука, был Ньютон (1687). Он
исходил из закона Бойля
Р __Ро Р Ро
Рис. 139.
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
347
и получил:
Ньютон придал этому результату красивую формулировку. Предположим, что
атмосфера однородна и имеет высоту h и плотность р0. Тогда атмосферное
давление на поверхности земли равно
Ро^^Лро,
и, следовательно,
а - \jgh .
Скорость звука, говорит Ньютон, равна скорости тела, падающего |без
сопротивления, с высоты, равной половине высоты атмосферы. Вычисление по
формуле Ньютона дает
а = 280 м/сек.
Опыт этому резко противоречит.
Разрешение противоречия было указано Лапласом. Оно состоит в следующем.
Отношение р/р постоянно при изотермическом процессе. В действительности
процесс не изотермический, и эта зависимость несправедлива. Лаплас
предложил принять вместо изотермического закона адиабатический. Это дает:
где
I
/ Ро
Ро
Ср
Су
(Ср и Су - теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме).
Для воздуха у = 1,4. При этом получается удовлетворительное совпадение с
опытом.
В брлее позднее время стали определять у посредством измерения а. Это
имеет большое значение в связи с представлениями кинетической теории.
Согласно кинетической теории (для газа, -состоящего из жестких молекул)
348
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
где / - число степеней свободы молекулы. Например, при /= 3' (одноатомные
молекулы) имеем ^ = 1,61. Кундтом и Варбургом измерение а было проделано
для ртутного пара. Это - одноатомный газ, и для него получился результат,
предсказанный кинетической теорией:
Для благородных газов получается тот же результат.
С квантовой точки зрения весь вопрос выглядит иначе1.
Случай Ньютона (изотермические деформации) и случай Лапласа
(адиабатические деформации) принципиально отличаются от всех остальных.
Только при изотермическом и адиабатическом процессах нет деградации
энергии. Эти процессы обратимы. При всяком другом процессе между
отдельными частями газа происходит обмен тепла при конечной разности
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed