Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 108

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 160 >> Следующая

уравнение из уравнений Ньютона, и поэтому оно, казалось бы, должно быть
инвариантно по отношению к преобразованию Галилея. Противоречие связано
как раз с отбрасыванием члена (u, grad <р).
2. Мы считали, что стержень обладает вполне определенным модулем Юнга.
Но на самом дёле модуль Юнга зависит от температуры. Из термодинамики
следует, что при упругих деформациях температура меняется и при этом
модуль Юнга изменяется. Он принципиально не является постоянной
величиной. Можно рассматривать два крайних случая. Во-первых, случай
очень медленных деформаций, происходящих при постоянной температуре
(происходит выравнивание температуры с окружающей средой). Вещество имеет
при этом некоторый определенный модуль Юнга. Во-вторых, случай настолько
быстрых деформаций, что стержень не успевает отдавать тепло внешней
среде. Тогда вещество имеет другой модуль Юнга.
Обычно в твердых телах ни то, ни другое неправильно, но, к счастью,
зависимость модуля Юнга от температуры ничтожна; она особенно значительна
в газах.
342
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
(29IXI 1931 г.)
Уравнения гидродинамики и вывод из них волнового уравнения. Определение
понятия скорости волны. Скорость звука в газах по Ньютону и по Лапласу.
"Элементарный вывод" уравнений двухпроводной электрической линии. Критика
этого вывода. Правильная постановка задачи на основе
теории Максвелла.
В прошлый раз мы получили для колебаний стержня уравнение
/(*> 0р7-*-^(?<4|)=р79г • (1)
Нужно помнить, что это уравнение справедливо лишь приближенно, при
условии, что у (отклонение от положения равновесия) мало, так как только
в этом случае (с точностью до величин второго порядка) производную для
данной частицы можно заменить производной для данной точки пространства.
При составлении уравнения (1) был сделан еще ряд упрощений. В частности,
предполагалось, что имеется только продольное смещение. В
действительности имеется и поперечное движение. Им можно пренебрегать
только если стержень не очень тонкий. Можно внести поправки, учитывающие
поперечное движение.
Энергия стержня при наших предположениях состоит из потенциальной энергии
и=И ЕчШЛх
0.
и кинетической энергии
о
Эти выражения могут быть получены путем предельного перехода от
дискретной модели.
Рассмотрим теперь трехмерную гидродинамическую или акустическую среду и
выясним, каковы ее уравнения движения.
Гидродинамика исходит из следующего основного положения. Она утверждает,
что если выделить некоторую массу (рис. 138), то действующие на нее силы
могут быть заменены поверхностными силами. Это не само собой очевидная
истина. Это утверждение связано с тем, что действие молекулярных сил
распространяется лишь на очень небольшие расстояния.
ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
343
Мы будем считать далее, что силы, действующие на каждую ¦малую площадку,
перпендикулярны к площадке и направлены внутрь выделенной массы, а их
величина пропорциональна величине площадки. Предположение, что силы
перпендикулярны к площадке, означает, что мы считаем среду идеальной
жидкостью (или газом) в гидродинамическом смысле, т. е. жидкостью (или
газом), не сопротивляющейся изменению формы. В твердом теле дело обстоит
не так. В нем есть силы, сопротивляющиеся сдвигу.
Если в данном месте менять ориентацию площадки, то, как можно показать,
величина давления на нее не зависит от ориентации площадки.
Напишем для рассматриваемой среды уравнение .движения
jVK? = K. <2)
V
Здесь р - плотность; и - скорость; К - сумма всех сил, действующих на
вещество, заключенное в объеме V. Уравнение (2) выражает то, что
сумма всех ускорений, умноженных на соответствующие массы, равна
сумме всех
действующих сил.
Пусть, кроме поверхностных, имеются также и объемные силы. Тогда
К= J fpt/Fn- <? pndS, (3)
F S
где f--объемная сила на единицу массы; р - давление, dS-элемент площади.
Но
^ pndS = - [ Vp • dV (4)
а г
(это справедливо для любого объема).
Пользуясь соотношениями (3) и (4), мы можем написать уравнение движения
массы в виде
J (eS-fp-*-v?)rfK=o.
7
Так как это верно для любого объема, то отсюда следует, что
подинтегральная функция равна нулю:
dn .
344
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Производная du/dt относится к данной материальной точке. Так должно быть
по смыслу второго закона Ньютона, тут нет свободы выбора. Но1
rfu ди. / ,
~di=rt^ ?)'и'
и, следовательно,
Р ^ + Р (и. V) • и == р/- VP-
Сколько здесь неизвестных? р, вообще говоря, - переменная, неизвестная
величина, р и р связаны некоторым соотношением:
Р = Р( Р).
вид которого зависит от уравнения состояния среды. Третье неизвестное- и.
Таким образом, для определенности задачи нужен еще один физический закон.
Если в некоторый объем входит определенное количество вещества (например,
газа), то это вызывает изменение количества вещества:
$ fws=-J %dv.
s У
Отсюда на основании теоремы о дивергенции
J) aiu/"S = | div а • dV следует уравнение сплошности:
- div pu.
Мы получили систему уравнений
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed