Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
отношение имеют друг к другу величины v и а? На первый взгляд-никакого,
так как в рассматриваемой задаче нет распространения; речь идет о стоячих
волнах.
Понятие скорости нельзя без критики применять к волновому движению, нужно
точно определить, что под ним понимается. Скорость движения волн есть
нечто принципиально другое, чем скорость движения частицы (хотя и есть
некоторая связь между этими двумя понятиями). Когда без критики
отождествляли эти два понятия, то наталкивались на неприятности. Нет
скорости волны вообще. Можно говорить, например, о фазовой скорости, о
скорости фронта, о групповой скорости. Вот уже три различные понятия
скорости волн, а для частиц достаточно одного. В случае волнового
движения с понятием скорости нужно быть осторожным.
Вернемся к разбираемому вопросу. Мы исходили из дискретной системы, путем
предельного перехода в решении пришли к определенному решению для
сплошной среды и убедились дифференцированием, что оно удовлетворяет
некоторому дифференциальному уравнению.
Часто поступают иначе (это делается во многих учебниках): вместо перехода
к пределу в решениях стремятся провести предельный переход от самих
уравнений дискретной системы к уравнению в частных производных. Делается
это так.
ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
339
Перепишем уравнение (1) в виде
(7)
(&-тая точка находится на расстоянии х от начала). Делают фокус:
разлагают ух±а по формуле Тэйлора:
, ,, а2 (,/ я3 / . а а'1
Ух+а-Ух = уа-ь-у -у -Лгу' -^--ь..., ух-а-Ух=-уа-+-у у- ...
Если сложить эти выражения, подставить в (7) и отбросить малые величины,
то получится уравнение (6).
Но в исходном уравнении (7) функция у определена лишь для дискретных
точек, и, следовательно, у нее нет производных по л:! Дифференцирование
по х - очень сомнительный прием, хотя и дающий верный результат. Его
оправдание связано с тем, что непрерывную функцию можно определить ее
значениями во всех рациональных точках. Если функцию, заданную в
рациональных точках, мы заменяем непрерывной функцией, то эта функция -
единственная.
Впрочем, в физике всюду приходится делать такие вещи.
После того как мы себе уяснили связь между "дискретным" и "сплошным"
подходом, постараемся рассмотреть всю проблему с самого начала со
"сплошной" точки зрения.
Вырежем кусок стержня - элемент длины (рис. 137). Одно из основных
утверждений теории упругости состоит в том, что силы, действующие на него
со стороны остальной части тела, могут быть заменены поверхностными
силами (это совершенно не очевидно). Между деформациями и этими силами
существует определенная зависимость. Для не очень больших деформаций
имеет место пропорциональность, т. е. закон Гука. Пусть произошла какая-
то деформация. Благодаря деформации возникает напряжение. Сила,
действующая на сечение х, будет
Их результирующая F равна произведению массы выделенного элемента на его
ускорение:
сила, действующая на сечение x-t-Дх, будет
др \ / г- дУ \ д ( г' ду\ л .л
340
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Кроме сил упругости, могут быть и другие, например внешние объемные силы.
Обозначим через f(x, t) объемную силу, действующую на единицу массы.
Тогда на кусок Дх действует объемная сила /(х, t)pqkx. Прибавляя ее к F и
сокращая на Дх, получаем уравнение
/(*> t) ?я [чЕ-Й-)=(tm)
В нашем рассуждении не требуется, чтобы Е, р и q были постоянными. Можно
было бы рассмотреть неоднородный стержень
X x+dx
Рис. 137.
и в молекулярном представлении, считая, что упругости пружин и массы
меняются с номером по определенному закону. Но там это очень сильно
усложнит дело.
Предположим для начала, что q, Е и р постоянны. В этом случае (8)
превращается в
/(*.')-"= !!=-§• р>
Сделаем два небольшие замечания (часто забывают о существенных в данном
вопросе вещах, забывают о сделанных ограничениях и в результате
сталкиваются с неприятностями).
1. У нас у - функция от х и от t. Как нужно понимать частную
производную по t? Она характеризует изменение по t для данного х. Это -
производная в данном месте. Но законы Ньютона относятся к данной частице,
а не к данному месту. По смыслу законов Ньютона, когда мы составляем
производную по времени, мы должны следить за определенной частицей; для
того, чтобы получить ускорение, мы должны взять скорость в момент t ив
момент t-+- Д? для одной и той же частицы. Производная, взятая для данной
частицы, и производная в данной точке пространства - не одно и то же.
Соотношение между произвол-
ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
341
ной по времени для данной частицы D^jDt и производной в дан-
к д(Р
ной точке пространства таково:
("> ?rad<р). (10)
Здесь имеется член, содержащий скалярное произведение скорости на
градиент <р. При малых колебаниях - это член второго порядка, в чем и
лежит оправдание проявленной нами "ловкости рук".
Уравнения Ньютона инвариантны по отношению к галилеевой группе
преобразований. Волновое уравнение по отношению к ней не инвариантно. Оно
инвариантно по отношению к преобразованию Лоренца. Но мы вывели волновое
