Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
416
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
замечательное свойство, чрезвычайно изящная теорема, заключающаяся в
следующем. Подставим в (5) какую-нибудь функцию (r) (х), удовлетворяющую
краевым условиям. Пусть мы угадали или разыскали такую функцию 9 (х), при
которой выражение (5) минимально. Тогда оказывается: 1) такая функция
является собственной функцией, и 2) соответствующее значение отношения
(5) равно наиниз-шему собственному значению, т. е. квадрату наинизшей
собственной частоты (частный случай теорем Куранта).
Эта теорема имеет важные применения. Из нее следует, например, что если в
каком угодно месте системы мы увеличиваем массу, то частота основного
тона может только уменьшаться. Подобное утверждение вовсе не
самоочевидно. Например, если мы увеличиваем массу физического маятника,
то его период может при этом увеличиться, но может и уменьшиться.
Докажем сформулированную нами теорему. (Раньше существование собственных
функций принималось на веру. Теперь мы знаем, что необходимо отдельно
доказать существование такой функции. Мы докажем, что если собственная
функция существует, то для нее имеет место сформулированная нами
теорема.)
Обозначим выражение (5), рассматриваемое как функционал от о(х), буквой
I. Пусть <р(х) обращает / в минимум. Тогда при подстановке 9 С*) вариация
выражения / обращается в нуль. Варьируя, получаем:
<V ~ 2 J'jwp' 8<р' dx j' q (r)2 dx -2 j q 989 dx j po'~ dx 0.
oo oo
Разделим это уравнение на ^q<a2dx. Получаем, принимая во вни-
о
мание (5):
/ i
)р 9' 6<р' dx - л|'<7 009 dx - 0. о о
Но
*="(?)=?*"•
Беря первый интеграл по частям, получаем:
i i
\_pi ^р]0~ Jjj W) dx - 1 j<7 9S9 dx = 0.
о и
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
417
Гак как концы закреплены, имеем на концах:
8(c) г=0
(сравниваются только функции f(x), обращающиеся на концах в нуль).
Следовательно.
i
J [ т W* 1 ч ? j ^ dx ^ °- (6)
0
Так как S'f- произвольная функция от х, из (6) следует, что
2Х(Р?')^Ц'? = 0.
Итак, функция 'f(x), обращающая X в минимум, удовлетворяет уравнению (1),
что и требовалось доказать. Эту теорему легко распространить на общий
случай краевых условий задачи Штурма - Лиувилля.
Мы доказали теорему, относящуюся к наинизшему собственному тону системы.
Теорема может быть распространена и на все остальные тоны, но там нужно
искать минимум выражения (5) при известных добавочных условиях.
Отыскание всей совокупности собственных частот приводится теоремами
Куранта к задачам на максимум и минимум. Из этих теорем можно сделать ряд
физически интересных заключений. Теория, о которой здесь идет речь,
получила очень большое значение. С ней связан метод оценки собственных
частот, берущий свое начало от Релея, идея которого состоит в следующем.
В технике иногда не так важно точно знать частоту системы, как иметь
уверенность в том, что она ниже некоторого опасного (вследствие
возможного резонанса) значения. Подставим в выражение (5) некоторую
функцию rf (л:), о которой мы заранее знаем, что она имеет приблизительно
такой же характер, как собственная функция системы в частности, не имеет
узлов, кроме концов интервала (0, I). При этом получается некоторое
значение л. Мы можем тогда быть уверены, что основная частота лежит ниже
квадратного корня из этого значения X. Правда, это еще не дает нам
указаний на то, как избежать резонанса на обертонах.
Если подставить в (5) функцию о (х), не очень сильно отличающуюся от
истинной собственной функции, то л будет очень близко к собственному
значению. Выражение (5) мало чувствительно
27 JI. II, Мандельштам, том IV
418
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
к отклонению функции tp(x) от собственной функции, поскольку около
минимума X меняется медленно. Лучше всего показать это на простом
примере.
о I
В случае однородного стержня {р - const, <7 = const) первая собственная
функция есть
(х) = sin у . (7)
При этом
Если взять вместо (7) два отрезка прямых (рис. 168, а), то получится:
№
т. е. расхождение на 9°/0* Если взять дугу параболы (рис, 168, б), то
получится:
т. е. ш/"о" - 0,9985, что является уже прекрасной апроксимацией.
Выведем еще одно важное свойство собственных функций. Собственная функция
э,. (х) удовлетворяет уравнению
^ ч-Х,. 9 ?,. = 0. (8)
Обозначим:
dx
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
419
Имеем тождественно:
<Р" L ("р() = 9* ^ (р ср/) = ^ (р % <р/) - р 9/ (r)/, откуда вытекает
следующее тождество Лагранжа:
9* L Ы - л Ы -Jx (р <?к ?/ - Р ?.¦ (9)
Умножая уравнение (8) на <рд-, а аналогичное уравнение для фк и \-на <р<,
получаем:
Ь Тх ^ ^ ^ *•' 9 ^ ~ 0;
?"¦ ^ (Р f к) ~Ак q 9i9k - О-
Вычитая, находим:
fk L (?,) - <р, L (fk) - (кк - л,-) q 9,9*.
Применяя тождество Лагранжа (9), находим:
Т (Р fkf'i - Р 9i?'k) = (h - h) q 9"9*-
Интегрируя от 0 до /, получаем:
i
[р iw'i - = О* -h) J q Ь9к dx.
о
Левая часть здесь-нуль, так как в силу общих краевых условий имеем при
х=0 и при х=1:
= f'lc=vjfle.
Следовательно,
I
f q 9Ф dx-0.
0
Это значит, что при i =^=к собственные функции ф,- и 9д- ортогональны по
