Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворены.
Мы написали для бесконечной струны решение (12), удовлетворяющее
начальным условиям (10).
Раньше мы решали такую задачу: дана струна и граничные условия, которым
надо было удовлетворить. Это достигалось выбором 1. Здесь мы поставили
обратную задачу: найти решение, удовлетворяющее начальным условиям на
всей струне. Можно ли припасовать это решение к граничным условиям?
Оказывается, что можно. Это делается следующим образом.
Фактически начальные условия заданы только для интервала
Но ничто нам не мешает выдумать начальные условия для всех остальных
значений х.
Будем понимать под f(x) и F(x) функции, заданные в интервале (0, /), но
продолженные справа и слева так, что
/(- х) = - f(x), /(х + 2/)^/(х), (13)
F(-x) = -F(x), F(x + 2l) = F{x). (14)
!10
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Легко показать, что решение, удовлетворяющее искусственным начальным
условиям (13) и (14), удовлетворяет также граничным условиям
Мы знаем, что существует единственное решение, удовлетворяющее граничным
и начальным условиям. И действительно, можно показать, что решения,
полученные обоими способами, тождественны.
Решение (12) толкуется очень просто. Возьмем наиболее простой случай,
когда начальные скорости равны нулю. Тогда
Это - движение двух волн, форма которых воспроизводит перво-
струны и величина а приобретает здесь физический смысл скорости. Раньше
она была названа скоростью чисто формально; здесь же это действительно
скорость распространения импульса.
Обычно нас интересует, каковы частоты и амплитуды отдельных тонов. Для
того, чтобы получить ответ на эти вопросы, необходимо вернуться к ряду
Фурье-ж первому способу рассмотрения задачи.
Мы оставим в стороне очень интересную задачу об отражении от
закрепленного и от свободного конца. Вернемся к более общей задаче о
неоднородной системе:
Ее разбор мы довели до задачи Штурма - Лиувилля. Можно ли здесь применить
способ бегущих волн? Повидимому, нельзя, и метод разделения переменных -
единственный.
В случае (15) форма импульса меняется при распространении, и поэтому
нельзя говорить о его скорости. Но все же и здесь
y{0,t) = 0, у{1, t) = 0.
1 !
Рис. 167.
I
L
начальную конфигурацию (рис. 167). Сумма этих бегущих волн представляет
собой стоячую волну. Точки 0 и I при этом остаются в покое. Таким
образом, при этом способе рассмотрения мы получаем сразу форму
- Г
дх L
р{х)д^ \ - q{x)
(15)
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
411
можно ввести определенное понятие скорости. Фронт, начало импульса,
распространяется с вполне определенной скоростью, правда зависящей от х.
Скорость фронта есть
116)
Это следует из одной теоремы о свойствах характеристик уравнений в
частных производных второго порядка. В случае однородной системы формула
(16) переходит в уже известную нам формулу для скорости распространения
волн.
Пусть имеет место небольшое нарушение однородности: коэффициенты р(х) и q
{х) медленно меняются с х. Тогда должно существовать какое-то
приближенное понятие скорости распространения импульса. В противном
случае теория однородных систем не могла бы применяться на опыте.
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
(13/11932 г.)
Положительность собственных значений задачи Штурма - Лиувилля. Каждому
собственному значению соответствует одна собственная функция.
Экстремальное свойство основного собственного значения. Его применение
для приближенной оценки основной частоты. Свойства ортогональности
собственных функций и их физический смысл.
Мы займемся теперь неоднородными распределенными системами. Мы увидим,
что качественные характеристики неоднородных и однородных систем очень
похожи. Для того, чтобы овладеть неоднородными системами, надо иметь
возможность вычислять собственные числа и собственные функции. Прежде
всего мы постараемся вывести некоторые общие положения.
Посредством подстановки
У = ? (*) Ф (t)
мы свели решение основной задачи к решению уравнений
412
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
И
(1)
с граничными условиями
(ср' - а<р)0=0, (с/ -+- Jso)Z = О,
(2)
где а и (з -¦ положительные числа.
В некоторых случаях приходится делить граничные условия на а или (i и
переходить к пределу сс=со или р=сс. Поэтому граничные условия часто
пишут в более общем виде:
Вместо того, чтобы переходить к пределу у. = со или |s=co, можно положить
а1=0 или (^ = 0.
Все соотношения, с которыми мы здесь имеем дело, имеют определенный
физический смысл, и мы будем стараться в наших дальнейших рассуждениях
сразу выяснить физическую значимость каждой ступени математического
рассуждения.
Потенциальная энергия стержня равна
Упругая потенциальная энергия пропорциональна квадрату дефор' мации.
Пусть мы знаем, что л>0. Тогда
t}/ = cos(atf-t-?),
(a1?/ - a2?)o-о,
0
Здесь у' - растяжение, деформация; р - модуль упругости.
где - и подинтегральная функция имеет вид
Так как среднее по времени от cos2 (otf-+-е) равно г/2, то средняя по
времени потенциальная энергия в данном элементе длины равна
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦИЯ
