Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
отношению к функции q (х):
J q (х) ср, (х) ср* {x)dx = 0. (10)
о
Докажем с помощью этого соотношения, что собственные значения не могут
быть комплексными.
Если -комплексно, то, вообще говоря, 9,- тоже комплексно.
Если уравнению (8) удовлетворяют комплексные л,- и 9,-, то ему 27*
420
ЛЕКЦИИ 1/0 КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
удовлетворяют также Ак и <&*•, комплексно сопряженные по отношению к \ и
срг (это следует из того, что р и q действительны). При этом -
действительная положительная величина, равная '<р,-|2. Условие
ортогональности (10) дает:
J <7 WI Ь (х) Г2 dx = 0,
о
что невозможно, так как q(x)^>0. Следовательно, все X,- действительны и
положительны.
Но тогда функции <?,-(х) тоже действительны. В самом деле, если
собственному значению X, соответствует комплексная собственная функция
<р# = ф3 н- г'^2, то сопряженная функция
ср,-*=ф1-гф2~ тоже собственная функция; но тогда одному собственному
значению соответствуют две собственные функции, что невозможно 1 (это
было бы возможно для однородного кольца). Каков физический смысл
ортогональности собственных функций? Пусть система колеблется в двух
тонах: г-ом и к-ом. Тогда
у У, COS Ч cos щ t.
Кинетическая энергия на единицу длины есть ~ у1. При подстановке у здесь
появится удвоенное произведение
ы.м;. q (r),-ср* sin м,-1 sin t.
Полная кинетическая энергия всего стержня будет
/
Т --- Тi л- Т!: f- (. sin to j t sin щ t [ q э,-ср;. dx,
;>
где 7,- и T], зависят соответственно от каждого из колебаний и ср*. в
отдельности. Вследствие свойства ортогональности (10) член взаимодействия
пропадает и остается
Т - - T,.+ Tt.
Таким образом, кинетические энергии двух колебаний независимы.
Для потенциальной энергии двух колебаний член взаимодействия будет
i
JV-pVfV dx.
_______________________________ о
1 [Здесь исключается тривиальный случай, когда 9г (л') содержит
постоянный комплексный множитель. Если ф,- (х) - собственная функция, то
a?t(x), где а - комплексное число, тоже собственная функция.]
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
421
Можно показать, что в случае закрепленных концов (<? = О на концах) или
свободных концов (ср' = 0 на концах) функции cp'f и ср'* тоже
ортогональны [по отношению к р (х)] и потенциальные энергии двух
колебаний независимы. Но в случае общих краевых условий это не так,
вместо условия ортогональности (10) получается:
Смысл этого соотношения заключается в том, что потенциальные энергии г-
того и к-тото колебаний складываются также и здесь, но с учетом
потенциальной энергии пружин на концах. Простой ортогональности (10)
здесь быть не может, потому что не вся потенциальная энергия (в отличие
от кинетической) находится в самом стержне. Уравнение (11) определяет
некоторое обобщенное понятие ортогональности. Иногда ее называют
"нагруженной ортогональностью11.
Выражение типа (11) можно рассматривать как интеграл в некотором
обобщенном смысле - интеграл Стильтьеса.
У равнение для отыскания собственных значений. Случай, когда нет
собственных значений. Случай, когда любое число является собственным
значением. Вычисление решений дифференциального уравнения в виде ряда по
степеням параметра. Теорема о существовании бесчисленного множества
собственных значений задачи Штурма-Лиувилля (начало).
Мы вывели в прошлый раз ряд основных свойств собственных значений задачи
Штурма-Лиувилля, но нам еще остается доказать само существование
собственных значений, а также то, что они образуют бесконечное множество,
не имеющее точек сгущения в конечной области. Исследование этих вопросов-
дело трудное, так как мы не можем получить, вообще говоря, в замкнутой
форме выражения для собственных функций и собственных значений.
J р tpV-p'fr dx -ь
[
(11)
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
(19Ц 1932 г.)
422
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Возникает еще другой вопрос: как практически вычислять собственные
значения и собственные функции? Существует систематический способ,
который при достаточном терпении приводит к желаемому результату.
Существуют также простые или плохо обоснованные способы, специфичные для
разных частных случаев.
Предположим, что собственные значения существуют и посмотрим, как можно
их вычислить. Наша задача записывается так:
Мы можем несколько упростить уравнение (1), введя вместо х новую
переменную:
Таким образом, наша задача записывается теперь так (вместо ? мы снова
пишем л:):
(1)
("1? - "2СР')0 = 0,
(2)
(3)
причем
а,а2 > 0, р^2>0.
(4)
р (*) '
о
dx р '
и, следовательно, уравнение (1) принимает вид
где
Ч $) = p{x)q(x).
(5)
(04Ф -a2cp')o = 0,
(Pi? +-P2?')i = 0.
(6)
(7)
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
423
где
а, = ^,р2=&. (8)
Ро r2 Pi '
Следует помнить, что здесь I имеет другой смысл, чем в (3). Мы обозначили
через I значение ?, соответствующее прежнему х - 1. Итак, мы можем
рассматривать вместо (1) уравнение, в котором р(х) = 1.
В обычной классической задаче о решении дифференциального уравнения
задаются фи^р' для одной точки. В интересующей нас задаче заданы два
