Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
интегралы могут как-то выражаться через эти операторы. Например, в случае
свободного движения с гамильтонианом Ж = рг!2тп классическим инвариантам,
начальным точкам р0=р и д0 = д- ptlm, отвечают интегралы движения в
квантовом случае р0 = - ih dldx и д0 = х iht х X did (тх). Интегралы
движения, отвечающие дискретным симметриям типа оператора четности, не
входят в обсуждаемый набор 2N интегралов движения.
§ 2. Инварианты и динамическая симметрия
уравнения Шредингера
Существует замечательная связь между операторами симметрии Ва уравнения
Шредингера и интегралами движения. А именно, инварианты квантовой системы
одновременно являются операторами симметрии этой системы в смысле
определения (3.3), данного в гл. I. Действительно, операторы симметрии Ва
в этом, смысле должны удовлетворять условию
ih -jL Ж, /С] Т 0, (2.1)
где Ч* - решения уравнения Шредингера. С Другой стороны' интеграл
движения определяется как оператор, среднее значение которого не зависит
от времени:
sy ; - < Ч' | /а | Ч'> 0. (2.2)
Это. означает, что _ , ,
' <Ф |/в |Y> + <? |/в| Т> + <V\-Ia |*> = 0,
75
или
<У | {4- (Ж* /" - Ш) + } | = о.
(2.3)
Если = Ж, то достаточным условием выполнения (2.2) является условие,
определяющее инвариант 1а:
что эквивалентно (2.1). Таким образом, интеграл движения 1а (и любая
функция от него) переводит решение уравнения Шредин-гера в другое
решение. Это очень важное свойство, существенно использующееся во всех
последующих построениях.
Обычное определение интеграла движения в квантовой механике является
частным случаем данного определения (2.4). Дело в том, что обычно
используется более сильное условие тождественной коммутации
не являющееся необходимым для (2.2). Условие (2.4) слабее.
В работе Барута [8] при рассмотрении спектра энергий стационарной
квантовой системы было введено понятие динамической группы квантовой
системы как группы, операторы которой включают и такие, которые переводят
состояния, принадлежащие одному уровню энергии, в состояния с другими
энергиями. Почти одновременно аналогичные понятия были введены под
названием "группы неинвариантности" в работе [10] и под названием
"алгебры, генерирующей спектр" в работе [9]. По существу, эти понятия
являются частными случаями понятия симметрии уравнения Шредингера в
смысле определения, данного в гл. I. Дело в том, что для стационарных
систем, для которых существуют уровни энергии, алгебра, генерирующая
спектр, состоит из операторов, которые являются как раз операторами,
переводящими одно решение (с заданной энергией) в другое (с заданной
энергией). Смысл введения групп неинвариантности заключался в том, чтобы
собрать все уровни энергии в один мультиплет (в одно неприводимое
представление) этой группы (названной группой, генерирующей спектр
энергий). Для того чтобы обобщить понятие алгебры, генерирующей спектр
(мы назовем эту новую алгебру алгеброй, генерирующей состояния), на
системы, для которых энергия не является инвариантом (на нестационарные
системы), следует воспользоваться определением (3.3) гл. I. Найдя
достаточное количество интегралов движения, в частности взяв интегралы
движения (1.1), можно построить алгебру, генерирующую состояния системы.
В качестве такой алгебры может быть взята алгебра Гейзенберга, состоящая
из единичного оператора и операторов (1.1), поскольку по теореме Стоуна -
фон Неймана операторы (1.1) в пространстве состояний квантовой системы не
имеют
(2.4)
76
инвариантных подпространств. Из операторов (1.1) можно строить и другие
алгебры, генерирующие состояния, например алгебру неоднородной
симплектической группы / Sp (2N, R) или группы U (N, 1). Поскольку
указанные утверждения базируются только на существовании интегралов
движения (1.1), то можно считать, что для произвольной квантовой системы
существует алгебра, генерирующая состояния / Sp (2N, R) или U (N, 1).
С помощью группы Гейзенберга с генераторами (1.1) можно из одного-
единственного состояния построить все остальные состояния. Классификацию
состояний квантовых систем можно производить, используя разные алгебры,
генерирующие состояния, что эквивалентно решению уравнения Шредингера в
разных координатах. Разумеется, все вышесказанное относится и к другим
уравнениям (в частности, Дирака и Клейна - Гордона). Алгебра,
генерирующая спектр (группа неинвариантности), является частным случаем
алгебры, генерирующей состояния. Например, алгеброй, генерирующей
состояния атома водорода, является алгебра конформной группы О (4, 2)
(см. [И, 80]), совпадающая в этом стационарном случае с алгеброй,
генерирующей спектр энергий.
§ 3. Когерентные состояния произвольных квантовых систем
Перейдем теперь к построению когерентных состояний произвольной квантовой
системы [67, 77-80]. Для этого введем интегралы движения - операторы
рождения и уничтожения
Ж = 2~,/г (д0 - ip о)', Л = 2~V* (д0 + ip0), (3.1)
удовлетворяющие стандартным коммутационным соотношениям
[Аа, Ар,] - 6ар. Заметим, что, поскольку любая функция от интегралов
