Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
в случае постоянного магнитного поля (е = ес) эта формула переходит в
хорошо известное выражение, полученное в [90].
Рассмотрим теперь вопрос о вычислении матричных элементов [/-матрицы для
случая, когда до нулевого момента времени существовало постоянное
магнитное поле Шщ, затем было включено переменное электрическое поле и
начало меняться по величине магнитное поле, в далеком будущем
электрическое поле выключается, а магнитное поле становится постоянным,
равным (Of. Легко вычислить [/-матрицу в любой момент времени [/-матрица
выражается через параметры | (/), ц (/), 60 (/) и 6Ь (/), тесно связанные
с решениями уравнений (6.4). Параметры | (/) и т] (/) выражаются через
решение е (/) и его производную ё (/):
е (/) = (2/со,)1/* [? (0 ехр (mtt/2)- гц (t) ехр (- гю{//2)]; е (/) = i
(cof/2)'/' [| (/) ехр (icoj^/2) -f it] (/) exp (- icof^/2)],
причем е*ё - её* = 2i; 1112 - | ц |2 = 1.
При t-*¦ - 00 величина е (/) переходит в (2/щп)'1* ехр (ш([1//2), а при
t~*~ 00 величины | (/) и ц (/) являются постоянными комплексными числами.
Решения неоднородного уравнения (6.4) имеют вид
8" = - 2'4' jj е (т) F (т) dx; 6" = - i2'v' J е (т) F* (т) dx. (6.10)
(6.9)
а разность углов между векторами Slt М2 имеет вид
фЯг - ФЯ1 = arg [S2 + So (?2)] - arg [Si + So (H)] - У-
So = - 2-l/' (60е* + 6* е);
о
о
68
При t <. О имеем F (t) = О и ?" = О, а при t -*¦ оо сила F (t) = О и 6d
(t) и 6Ь (t) становятся постоянными числами. Конечные состояния | ц, v;
ty описывают когерентные состояния частицы в постоянном поле с частотой
(Of. Операторы А[ и В{ даются формулами (6.3), а явный вид этих состояний
- формулой (6.7), причем в формулах (6.3) и (6.7) нужно положить
?" = 0; е (t) = (2/a"f)'/" ехр (ia>f*/2).
Операторы А и В связаны с Af и Bf соотношениями
А = | (t)Af + т] (t)B( -J- 6а (t);
В = t (t)Bt + г, (t) At + 6" (t). (6.11)
Отметим, что оператор D (6.6) отличается только фазовым множителем от
вейлевского оператора сдвига
Г *
j ^ /J7f* I T?*f \ /Jv I R X* Л I X tA
L Л
D = exp i \ (Ft* + F%o) dx + 6aA* - b*aA + bbB* -6*b В
(6.12)
Амплитуда перехода из начального когерентного в конечное когерентное
состояние может быть получена либо взятием интеграла, либо с
использованием свойств операторов вейлевского сдвига и имеет вид
<[х, v; f |a, Р; in) =
= |-1ехр {бЛ^ -у- (| 6a |2 -J- | 6Ь |2 -J- | a |2 -J- ] p |2 + | (x |2 +1
v |2) -J-
+ r1 [(a - 6a) (X* -f Ф - 6b) v* - T](X*V* -f T]*aP + a (?6* - r]*6b) -f
t
+ p (I8*b - т]*б0)] + i jj(F?0* + F*to) dt}. (6.13)
0
Можно вычислить производящую функцию для вероятностей перехода между
уровнями Ландау
ОО
f (Zi, Z2, г/ь у2) = ^ Wmimintn,z^'y^y^',
"{= 0, ni=0
имеющую вид
/ = Д-1 ехр {(гД)-1!^ + tz2 + иу1 -f wy2 + (s + t + и -f w) X x
УхУ&^ъ - sy1y2z1 - uzxz2y2 - wz1z2y1 - tytfi?! - qyxy2 -
- (2 и - q)y1z1 - (2w - q)y2z2 - (2s - 2u + q)zxz2] - (s +
+ t + и + w)l2 |||2}, (6.14)
где Д = j T] |2 (i/iJ/a - 1 KzjZj - 1) + (УА - l)(j/aza - 1),' и
=
= | 6a |2; w = | 6" |2; s = | t \ги + | T] \2w - 2 Re (?t)6*6*); t =
s -f
+ w - u; q = и - s+(s + w)R; R = | т] |2 /| ? js.
69
Амплитуда перехода (6.13) не зависит при больших временах от переменной
t, в чем легко убедиться дифференцированием. Комплексные константы т],
б0, бь, определяющие асимптотику траекторий (6.10), полностью задают
амплитуду перехода (6.13). Поскольку амплитуда (6.13) задает производящую
функцию для амплитуд перехода между состояниями с заданными значениями
энергии и углового момента (т1, тп2; f | пг, п2; in), эти амплитуды легко
сосчитать обычным дифференцированием. Имеем
(тъ тг\ f | пъ п2; in) = х' 2' *s' Xl) <о, 0; f 10, 0; in). (6.15)
(т^.т^.п^Мъ'.),г
Здесь Н ninimimz - полином Эрмита от четырех переменных, причем хх = ба-
т]б?/|*; х2 = 6Ь - б*т]/?*; х3 = -б *Ц*; х4 = -б*/?*, а симметричная
квадратичная форма ф = a^XiXn, задающая эти полиномы Эрмита, имеет четыре
не равные нулю коэффициента: а12 = - т]*/?; а34 = ц/g; а42 = а21 = -1/|.
Интересно отметить, что полученная в [42] амплитуда перехода между
энергетическими уровнями для осциллятора с переменной частотой, на
который действует переменная вынуждающая сила, также вычисляется точно и
выражается через полином Эрмита от двух переменных. Впервые амплитуды
перехода для такого осциллятора вычислялись методом производящих функций
в [85] (см. также [87]), в адиабатическом приближении - в [91]. Эти
амплитуды строились также в [89] с помощью применения квадратичных
инвариантов, явно зависящих от времени. Интегралы перекрытия, дающие
вероятности перехода для осциллятора, исследовались в [93].
Представляет интерес рассмотреть амплитуду перехода начального.
когерентного состояния | а, р; in) на уровни Ландау конечного состояния |
т2; f). Для этого необходимо продиф-
ференцировать производящую функцию, задаваемую формулой (6.13), по
параметрам р,*, v*. Имеем в результате
(ти т2\ f j а, Р; in) = <0, 0; f | а, Р; in) {т^.т2\)'^ х
1 , ( Т1\р/а - ба\(т'-7"2+1 т'-тг 1)/2
X \ 5 | \ ) х
