Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
I b3 I I Х3 II \С2/
Вакуум (4.4) удовлетворяет уравнению Шредингера и условию Аа | 0; О = 0.
В соответствии с отмечавшейся неоднозначностью выбора инварианта I,
вакуум также выбирается неоднозначно, что отвечает рассмотрению задачи в
различных системах координат в фазовом пространстве {д, р), связанных
каноническим преобразованием.
Физический смысл инвариантов 1а состоит в том, что их собственные числа
задают начальные значения классической траектории в фазовом пространстве
средних величин </>)>, <дУ. Когерентное состояние | а; О строится из
(4.4) с помощью оператора сдвига D (а) = ехр (- | а |2 /2 -f аА*) ехр
(а*4). Поскольку А и А* - инварианты и а - постоянный комплексный вектор,
|а; О удовлетворяет уравнению Шредингера и соотношению A j а; О = а | а;
t).
Запишем когерентное состояние в двух удобных для дальнейшего формах:
| а-, О = n~N'* ехр (а + vx - 1/2;"рэс) (4.5а)
и
| а; О = 10; О ехр (- V2| а |2 -f ва - 1/2awa), (4.56)
где
а = ф (t) - 1/21 а |2 -f 2_1/г(А* - А^Ч,) а + х/4 а (Х^Х^ХдХ^, - XlXp)a;
v = vo + 2~'/г(Хд - Хр%х1) а; w=i 2'1 (Х%х\ - ; (4.6)
в = 2~Ч\А* - xtX^A + Х*дх - Х$Х?ХдХ); ц = 1Х~%.
Поскольку | а; О задает производящую функцию для собственных состояний
операторов А?Аа, написав соответствующее раз-
84
ложение, легко получить решение | п.; ty, гДе п - векторы с
положительными целыми компонентами, отвечающие энергетическому
представлению
| п; о = 10; О (^1 ... nN\)-'^Hn (sc), (4.7)
где Нп{х) - полином Эрмита от А переменных х = (?i, . . TN), задаваемый
матрицей ц. Свойства этих полиномов хорошо известны (см. [88]).
Интересны простые частные случаи: свободное движение
(,Ж = Va р2, - V2, b2 = b3 = bi = 0) и перевернутый осцил-
лятор (Ж = У2(р2 - q2), Ъх = -= Уг* h = Ь3 = 0). В этих случаях спектр
гамильтонианов не дискретен. Тем не менее в задачах существуют и вакуумы,
и когерентные состояния, и решения (4.7). Это и очевидно, поскольку такие
операторы эрмитовы и унитарный оператор эволюции (функция Грина,
являющаяся квадратичной экспонентой) переводит пакеты, построенные в
момент t = 0 в виде квадратичных экспонент (когерентные состояния) или
полиномов Эрмита (см. (4.7)), в те же функции. Поэтому когерентны и
энергетические состояния, причем бесконечное число их (симплектическая
матрица S) существует для любых квадратичных систем.
Имея (4.56) и используя полноту системы когерентных состояний, легко
получить явное выражение для функции Грина, беря гауссовский интеграл по
начальным координатам в фазовом пространстве:
G {х2, t2, хъ h) = 2n 10; 2> <0; 11 (det P)~'i> ехр (У21Р~Ч), (4.8) 2
+"7(2) f ит*(1) i [u> (2) - w* (1)] i [w (2) - w* (1)] 2 - w (2) - w*
(1)
, / s(2) + s*(l)
Us (2) - is* (1),
Матрицы w (1), w (2) и векторы #(1), *(2) определены формулами (4.6).
Здесь и в дальнейшем используем известный интеграл (см. формулу (3.26)
гл. II).
Получение функции Грина (4.8) интегрированием по когерентным состояниям
(по координатам в фазовом пространстве) полностью эквивалентно взятию
фейнмановского интеграла по классическим траекториям. Воспользуемся
теперь свойствами когерентных состояний для расчета вероятностей
возбуждения рассматриваемой системы. Будем считать, что при (<0 и при t -
*¦ оо гамильтониан системы становится не зависящим от времени. В этих
условиях существуют начальные и конечные состояния стационарной системы,
между которыми происходят переходы. Амплитуда перехода из начального
состояния | in) в конечное | f> дается матричным элементом <f | t оо),
где | t-+- оо) есть предел состояния | ty при t оо. При этом
подразумевается, что начальные условия выбраны правильно, т. е. состояние
| ty сис-
S5
темы в любой момент t ;> О дает развитие со временем соответствующего
начального состояния | in) и совпадает с ним при t =?= 0.
Амплитуда перехода | a; in) -*¦ | {Г, f) между когерентными состояниями
легко вычисляется взятием гауссовского интеграла по координатам:
<р; i |"; О = <0; f 10; О ехр [-V2 (| а |2 + | р |2) + Sg - V2 gwg],
(4.9)
где
5 - (р*) ;
W =
W - ТргТ
- т*^т
8 =
P - Va г (ill f pi) уд
тргтг
Pi = (p + pf)
p = 2~*/*(Д* - Ь*уД); т = 2"'У * - У).
Амплитуда <Р; f | a; tУ (функция Грина в представлении когерентных
состояний) есть производящая функция для амплитуды f | п; ty (функции
Грина в дискретном фоковском базисе), связывающей начальное
энергетическое состояние | п; О с конечным | ш; f). Из формулы (4.9),
вспоминая формулу для производящей функции полиномов Эрмита от 2N
переменных [88], сразу получим
у. п <0; f 10; f> ^ (5HS) '
(mif я t)=-----------------:---;-------гпу,, (4-10)
(яр . . . я^! тi!... TOjy!)
где М = ("!, . . ., пу, т1, . . ., mjv), а Нщ{х) есть полином Эрмита от
2N переменных, определяемый с помощью матрицы W.
Мы можем вычислить производящую функцию ф (и, v) для вероятностей
перехода | <ш; f | п', ty |2 по формулам
Ф (и, v) = n~2JV ^ <р; f | a; ty <v*a, t \ uf>', tyd^d2^.-. .d2aNd2fiN]
(4.11)
оо
"Ф (и, v) =" 21 I <т'"f I п> О |2 У1 • ¦ •
