Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
движения является также интегралом движения, можно было бы выбрать и
другие независимые интегралы движения, совершив каноническое
преобразование А' = SAS'1 в фазовом пространстве (в частности,
симплектическое), не нарушающее коммутационных соотношений. Это
индуцировало бы преобразование операторов рождения и уничтожения.
В чем физический смысл интегралов движения A, Aft Если в начальный момент
времени t - 0 операторы д0 и р0 совпадают с обычными координатами и
импульсами, то это означает, что средние координаты фазового
пространства, фиксированные в нулевой момент времени, полностью
определяют эволюцию системы. Таким образом, физический смысл интеграла
движения А заключается в том, что он определяет начальную точку
траектории в фазовом пространстве средних координат и импульсов.
Когерентные состояния строятся обычным образом, как собственные состояния
неэрмитовых операторов (см. [94-98]):
А^ |а> = Оц | а>. (3.2)
77
Таким образом, когерентные состояния произвольной квантовой системы
всегда существуют, если существует оператор эволюции U.(t) (функция
Трина). Тогда формально, пользуясь свойствами операторов q" и />", можно
построить выражеййя для когерентных состояний. Иным способом когерентные
состояния строились в работах [204,'205]. Можно, кроме того, строить
состояния, часто также называемые в литературе когерентными или
обобщенными когерентными (имеются и другие названия), отталкиваясь не от
операторов и рл, а от функций этих операторов Ia(q0, plt). В частности,
операторы /" могут образовывать алгебру Ли. Обычно строят состояния с
помощью этих операторов, взятых в момент времени t = 0. Мы можем строить
когерентные состояния с учетом временной зависимости (см. [205, 130]).
Основпое свойство всех таких когерентных состояний состоит в том, что они
удовлетворяют временному уравнению Шредингера и образуют неортогональные
полные (и всегда переполненные) системы функций, зависящих от непрерывных
параметров. Причем для одной и той же квантовой системы можно строить
совершенно различные наборы таких состояний. В математическом плане такие
состояния весьма удобны, поскольку они служат производящими функциями для
волновых функций с дискретными индексами,, а-аппарат производящих-
функций: эффективен для исследования рекуррентных соотношений,
асимптотик, вычисления интегралов перекрытия и т. д.
Существенным моментом является тот факт, что мы строим когерентные
состояния не с помощью какого-то произвольного оператора уничтожения А, а
именно с помощью интеграла движения. Это существенно облегчает расчеты и
позволяет легко строить когерентные состояния нестационарных систем, что
было исполь-' зовано в [67-80]. Вектор а задается N произвольными' ком-?
плексными числами. Для любой динамической системы существуют, таким
образом, когерентные состояния (этот вывод справедлив, разумеется, и для
динамических систем с координатами и импульсами" меняющимися в конечных
пределах,- это динамические системы типа квантового волчка, описываемого
углами Эйлера). ,
Явный вид когерентных состояний для произвольных систем полудить трудно,
поскольку когерентное состояние,, выбранное,: в начальный момент времени
в виде квадратичной экспоненты,-, под действием оператора эволюции может
сильно изменить (рвой-функциональный вид. Лишь для систем, описываемых
квадратим-. ным гаМИЛЬТОНианом, для которых оператор эволюции сам цррдт,
ставляет г собой квадратичную экспоненту, функциональный вид, когерентных
состояний ,со временем не меняется, поскольку интеграл от произведения
двух квадратичных экспонент сам-, является квадратичной экспонентой..
. . :
Для когерентных состояний произвольной квантовой системы выполняются
стандартные соотношения ортогональности и
78
полноты
<"| Р> = ехр (-lct ]2/2 - IР + ¦ ¦
¦ (3.3)
tt~N ) |"> <a]d2a = I. '-¦¦¦' ~ '
Операторы Ац неэрмитовы, поэтому их собственные функции, принадлежащие
разным собственным значениям, не обязательно ортогональны. Существование
когерентных состояний для произвольных квантовых систем, обладающих
оператором эволюции, дает возможность построить также фбковское
представление для таких систем. Поскольку когерентное состояние | я)
задает производящую функцию для состояний! га>, являющихся собственными
состояниями квадратичных операторов А^Ап (см. [94]), легко построить эти
состояния, дифференцируя функцию eN !'21 я) по переменным я:
(щ!...лЛ,!),/2 " ~ el"l2/2| "> dat. . . daN
'га>° (2,"". ¦ f- ' (3/,)
здесь замкнутые контуры интегрирования в плоскостях комплексных
переменных ай охватывают начало координат.
Проведенные рассуждения показывают, что для любых гамильтонианов
существует полный набор интегралов движения, чьи собственные числа
совпадают с набором собственных чисел, задающих энергии N независимых
гармонических осцилляторов. Система функций | га) полна (2 | га) <га) -
/.), причем эти функции ортогональны "га ) т} = 6ПТО). Явный вид. функций
j га) легко получить в случае квадратичного гамильтониана, поскольку для
