Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 32

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 123 >> Следующая

(3.12)
8i
и для ядра оператора начального импульса:
ро (х, у, t) = лг2ЛГ (- ih) J d2ad2a dx' dx" <x | a; t > <a; 0 | x'> :<
X 6' (x' - x") <x"|a'; 0> <a'; t \ y)>. (3.13)
Выражения (3.9) - (3.13) характерны тем, что в них можно при расчете
использовать замены переменных в пространстве большего числа переменных,
отвечающем удвоенному фазовому пространству систем (3.12), (3.13) или
двойным интегралам по траекториям
(3.9), (3.11).
Мы показали, что для произвольной квантовой системы можно ввести полные
наборы когерентных | а; ?> и фоковских | п\ t) состояний, диагонализируя
операторы - инварианты А в первом случае и операторы - инварианты Ац во
втором. Можно также вводить и другие системы функций, диагонализируя
полные наборы операторов -функций от инвариантов q0 и р0. В частности,
можно построить функции - србственпые функции операторов q0 (1.1); они
определяются формулой
xVXo(x,t)= иЬ{х~гХ0) = G{x,Xo',t)
и описывают развитие начальной функции, заданной в виде 6-функции -
собственной функции оператора координаты. Можно построить и функции,
описывающие развитие функции, заданной в начальный момент в виде плоской
волны
ТРо (х, t) = (2n)~Nl2Ueip°*.
Эта функция является собственной для оператора начального импульса р0.
Можно строить также функции, собственные для квадратичных интегралов
движения типа р\р - #оа или операторов qw P(\i- Все эти функции
определяют полные наборы решений уравнения Шредингера, существующие для
произвольных квантовых систем. Ниже на примере квадратичных систем мы
будем строить их в явном виде. j
Гамильтон показал (см. [401]), что уравнения движения ?".=-дЖ/dq, q =
дЖЮр сразу интегрируются, если использовать функцию действия S,
удовлетворяющую условию каноничности . .. .
'2ipidqi-'Mdt = dS-{-^lpidqV
- д. j, i . ;¦ . i • - • ••
Для интегрирования уравнений Гамильтона достаточно знать функцию S как
функцию начальной координаты г/" и текущей координаты qt. Тогда имеем
первые интегралы р\ = -dSfdql~ Текущие импульсы находим по формуле pt =
dS/dqi.-_Кванторым аналогов метода Гдмидьто.на построения цервых
интегралов р\ и qt с помощью функции действия S (q, q0) является
изложенный меД-од построения квантовых интегралов движения рй и q0 с
82
помощью оператора эволюции V (t) (см. (1.1) - (1.5)). Можно показать,
используя результаты работы Фока [195], что в квази-классическом
приближении интегралы движения р0 переходят в первые интегралы р" = -
dS/dql, что для квадратичных систем обсуждается в § 3 гл. V.
§ 4. Когерентные состояния систем
с квадратичным гамильтонианом
Рассмотренные в предыдущих параграфах примеры квантовых систем позволяют
сделать обобщение на системы, описываемые гамильтонианом, являющимся
нестационарной квадратичной формой общего вида (включая линейные члены).
Точное решение волнового уравнения для такого гамильтониана (без линейных
членов) было получено Черниковым [102]. Следуя предложенной выше схеме
(см. работы [43, 76, 103]), построим для такой системы инварианты,
когерентные состояния, функцию Грина, амплитуды и вероятности переходов
между уровнями энергий.
Рассмотрим систему с N степенями свободы и с эрмитовым гамильтонианом
вида
Ж (t) = QiBik(t)Qk 4 СШг (ft = с = 1); i, к = 1, . . .,N,
(4.1)
где Q1 = Ри Q2 = р2, ¦. - ,Qn - Pn> Qn+i = <7и Qn+2- • • •> Qin =
= givi эрмитова матрица B(t) и действительный вектор С (?) являются
заданными функциями времени. В дальнейшем формы типа (4.1) будем
записывать в виде Ж = QBQ 4- CQ. В системе (4.1) существует 2N эрмитовых
инвариантов, которые запишем в виде
/'(0 Л (ОСИ 6(0; г цг,Ж), (4.2)
где действительная матрица A{t) и вектор б(^), удовлетворяющие уравнениям
. Л - ?ЛсГ2(5 4-В*), 6 - 1АсГ2С (причем 02 - блочная матрица Паули),
находятся по формулам > ;
t t
А = 7'ехр [i f а2(В 4- B*)dx~^; 6 = i ^ Аа2Сdx. (4.3)
О , 0 •
Легко убедиться, что [/,-, 7k] = [Qu (^1. Это ясно и без проверку,
поскольку (4.2) соответствует развитию операторов коордщ нат и импульсов
с помощью 'оператора эволюции Т = UQU ', и в этой форме сохранение
коммутационных соотношений очевидно,. В качестве интегралов движения
может быть выбран вектор 1'= = S Г, Г'Де S - симплектическая'матрица,
сохраняющая эрмито-вость и коммутационные соотношения, что соответствует
другому выбору начальных условий в (4.3) или каноническому
преобразованию. Ясно, что оператор эволюции задает каноническое преоб-
83
разование такое же, как и в классической механике. Следуя схеме, вводим
операторы уничтожения Аа ~ (ila -f /дг+а) / /2 та-
кие, что [Аа, Лр] = 8ар, и строим когерентные состояния | а; О как
собственные функции этих операторов. Для этого сначала построим "вакуум":
|0; О = л-я/^ехр [- 1/2 хцх -f \0х + ф (*)]; ц = iX~pXq\
Vo = - i'kp1 А', Хр = Х$ -)- iX-ц Xq = -)- 1X2', Да = i6a 6a+jv>
(4.4)
t
ф (t) = ^ dx [ -Sp (62 + hX^Xg) -f iAXp^X^A -f tejA^A].
0
Здесь введены обозначения, отвечающие разбиванию матриц В и Л на блоки
размерности:
5 = 1^ J2||; А = II^1 Н|; С = (Cl) .
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed